第9讲 §2.1.1 平面。
学习目标：能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”；理解平面的无限延展性；正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系；初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；理解可以作为推理依据的三条公理。
知识要点：1. 点在直线上，记作；点在平面内，记作；直线在平面内，记作。
2. 平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下：
3.公理2的三条推论：
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。
例题精讲：例1】如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线是否共面？（p56 a组5题）
解：根据公理2的推论3，可知两条平行直线确定一个平面，又由公理1可知，与两条平行直线相交的第三条直线在这个平面内，所以一条直线与两条平行直线都相交时，这三条直线是共面的关系。
例2】空间四边形abcd中，e、f、g、h分别是ab、bc、cd、da上的点，已知ef和gh交于p点，求证：ef、gh、ac三线共点。 （同p58 b组3题）
解：∵pef，ef面abc，∴p面abc. 同理p面adc.
p在面abc与面adc的交线上，又 ∵面abc∩面adc=ac， ∴pac，即ef、hg、ac三线共点。
例3】求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内。
已知：直线两两相交，交点分别为，求证：直线共面。
证明：因为a，b，c三点不在一条直线上，所以过a，b，c三点可以确定平面α．
因为a∈α，b∈α，所以ab α．同理bc α，ac α.
所以ab，bc，ca三直线共面．
点评：先依据公理2, 由不共线的三点确定一个平面，再依据公理1, 证三条直线在平面内。 注意文字语言给出的证明题，先根据题意画出图形，然后给出符号语言表述的已知与求证。
常根据三条公理，进行“共面”问题的证明。
例4】在正方体中，1）与是否在同一平面内？（2）点是否在同一平面内？
3）画出平面与平面的交线，平面与平面的交线。
解：（1）在正方体中，， 由公理2的推论可知，与可确定平面，与在同一平面内。
2）∵点不共线，由公理3可知，点可确定平面， 点在同一平面内。
3）∵，点平面，平面，又平面，平面，
平面平面，同理平面平面．
点评：确定平面的依据有公理2（不在同一条直线上的三点）和一些推论（两条平行直线、两条相交直线、直线和直线外一点）. 对几条公理的作用，我们必须十分熟练。
第9练 §2.1.1 平面。
基础达标。1．两个平面若有三个公共点，则这两个平面（ ）
a．相交 b．重合 c．相交或重合 d．以上都不对。
2．下列推断中，错误的是（ ）
a． b．
c． d．，且a、b、c不共线重合。
3．e、f、g、h是三棱锥a-bcd棱ab、ad、cd、cb上的点，延长ef、hg交于p，则点p（ ）
a. 一定在直线ac上b. 一定在直线bd上。
c. 只在平面bcd内d. 只在平面abd内。
4．用一个平面截一个正方体，其截面是一个多边形，则这个多边形边数最多是（ ）
a. 三 b. 四c. 六d. 八
5．下列说法中正确的是（ ）
a. 空间不同的三点确定一个平面
b. 空间两两相交的三条直线确定一个平面。
c. 空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形。
d. 和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内。
6．给出下列说法：① 梯形的四个顶点共面；② 三条平行直线共面；③ 有三个公共点的两个平面重合；④ 每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面。 其中说法正确的序号依次是。
7．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是。
能力提高。8．正方体中，e、f、g、h、k、l分别是的中点。 求证：这六点共面．
9．（1）在平面α外，，，求证：p，q，r三点共线。
2）已知四边形abcd中，ab∥cd，四条边ab，bc，dc，ad（或其延长线）分别与平面α相交于e，f，g，h四点，求证：四点e，f，g，h共线。
**创新。10．在一封闭的正方体容器内装满水，m，n分别是aa1与c1d1的中点，由于某种原因，在d，m，n三点处各有一个小洞，为使此容器内存水最多，问应将此容器如何放置？此时水的上表面的形状怎样？
第10讲 §2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系。
学习目标：了解空间两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，掌握平行公理，掌握等角定理，掌握两条异面直线所成角的定义及垂直。
知识要点：1. 空间两条直线的位置关系：
2. 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）.所成的角的大小与点的选择无关，为了简便，点通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作。
求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算。
例题精讲：例1】已知异面直线a和b所成的角为50°，p为空间一定点，则过点p且与a、b所成角都是30°的直线有且仅有（ ）
a. 1条 b. 2条 c. 3条 d. 4条。
解：过p作∥a，∥b，若p∈a，则取a为，若p∈b，则取b为．这时，相交于p点，它们的两组对顶角分别为50°和130°.
记，所确定的平面为β，那么在平面β内，不存在与，都成30°的直线．
过点p与，都成30°角的直线必在平面β外，这直线在平面β的射影是，所成对顶角的平分线．其中射影是50°对顶角平分线的直线有两条l和，射影是130°对顶角平分线的直线不存在．故答案选b.
例2】如图正方体中，e、f分别为d1c1和b1c1的中点，p、q分别为ac与bd、a1c1与ef的交点。 （1）求证：d、b、f、e四点共面；
2）若a1c与面dbfe交于点r，求证：p、q、r三点共线。
证明：（1）∵ 正方体中， ，
又 ∵中，e、f为中点，
. ∴即d、b、f、e四点共面。
又即p、q、r三点共线。
例3】已知直线a//b//c，直线d与a、b、c分别相交于a、b、c，求证：a、b、c、d四线共面。
证明：因为a//b，由公理2的推论，存在平面，使得。
又因为直线d与a、b、c分别相交于a、b、c，由公理1，.
假设，则， 在平面内过点c作，因为b//c，则，此与矛盾。 故直线。
综上述，a、b、c、d四线共面。
点评：证明一个图形属于平面图形，需要紧扣公理2及其三条推论，寻找题中能确定平面的已知条件。 此例拓展的证明先构建出一个平面，然后从假设出发，推出矛盾，矛盾的原因是假设不成立，这就是证明问题的一种反证法的思路。
例4】如图中，正方体abcd—a1b1c1d1，e、f分别是ad、aa1的中点。
1）求直线ab1和cc1所成的角的大小；
2）求直线ab1和ef所成的角的大小。
解：（1）如图，连结dc1 ， dc1∥ab1， dc1 和cc1所成的锐角∠cc1d就是ab1和cc1所成的角。
∠cc1d=45°， ab1 和cc1所成的角是45°.
2）如图，连结da1、a1c1，
ef∥a1d，ab1∥dc1，∴ a1dc1是直线ab1和ef所成的角。
δa1dc1是等边三角形， ∴a1dc1=60，即直线ab1和ef所成的角是60.
点评：求解异面直线所成角时，需紧扣概念，结合平移的思想，发挥空间想象力，把两异面直线成角问题转化为与两相交直线所成角，即将异面问题转化为共面问题，运用化归思想将难化易。 解题中常借助正方体等几何模型本身的性质，依照选点、平移、定角、计算的步骤，逐步寻找出解答思路。
第10练 §2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系。
基础达标。1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ ）
a. 异面 b. 平行 c. 相交d. 以上都有可能。
2．教室内有一把尺子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线（ ）
a．平行 b．垂直 c．相交但不垂直 d．异面。
3．两条直线a,b分别和异面直线c, d都相交，则直线a，b的位置关系是（ ）
a. 一定是异面直线 b. 一定是相交直线。
c. 可能是平行直线 d. 可能是异面直线，也可能是相交直线。
4．把两条异面直线称作“一对”，在正方体的十二条棱中，异面直线的对数为（ ）
a. 12 b. 24 c. 36d. 48
5．正方体中，ab的中点为m，的中点为n，异面直线与cn所成的角是（ ）
a．30° b．90° c．45d．60°
6．如图，正方体中，直线与所成角为___度。
7．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中：
bm与ed平行； ②cn与be是异面直线；
cn与bm成60角； ④dm与bn垂直。
以上四个说法中，正确说法的序号依次是。
能力提高。8．已知空间四边形abcd各边长与对角线都相等，求ab和cd所成的角的大小。
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