知能巩固提升(十九)/课后巩固作业(十九)
(时间：30分钟满分：50分)
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.若命题a(n)(n∈n*),n=k(k∈n*)时命题成立，则有n=k+1时命题成立。现知命题对n=n0(n0∈n*)时命题成立，则有( )
a)命题对所有的正整数都成立。
b)命题对于小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立。
c)命题对于小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立。
d)以上说法都不正确。
2.(2012·济南高二检测)用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上( )
a)k2+1
b)(k+1)2
c) d)(k2+1)+(k2+2)+…k+1)2
3.(2012·合肥高二检测)对于不等式＜n+1(n∈n*),某同学用数学归纳法的证明过程如下：
1)当n=1时，＜1+1,不等式成立。
2)假设当n=k(k∈n*)时，不等式成立，即＜k+1,则当n=k+1时，(k+1)+1,n=k+1时，不等式成立，则上述证法( )
a)过程全部正确。
b)n=1验得不正确。
c)归纳假设不正确。
d)从n=k到n=k+1的推理不正确。
4.若数列的通项公式an= (n∈n*),记f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-an)，试通过计算f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)为( )
ab) cd)
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.(2012·徐州高二检测)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，当第二步假设n=2k-1(k∈n*)命题为真时，进而需证n时，命题亦真。
6.(易错题)若f(n)=12+22+32+…+2n)2，则f(k+1)与f(k)的递推关系式是___
三、解答题(每小题8分，共16分)
7.(2012·杭州高二检测)用数学归纳法证明：
1(n∈n*,n＞1).
8.(2012·开封高二检测)在数列，中，a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差数列，bn,an+1,bn+1成等比数列(n∈n*),求a2,a3,a4与b2,b3,b4的值，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论。
挑战能力】10分)用数学归纳法证明an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除(n∈).
答案解析。1.【解析】选时命题成立，说明n=n0+1时命题也一定成立，但对于n＜n0的正整数，命题不一定成立。
2.【解析】选d.当n=k时，左端=1+2+3+…+k2，当n=k+1时，左端=1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…k+1)2,故当n=k+1时，左端应在n=k的基础上加上(k2+1)+(k2+2)+…k+1)2,故应选d.
3.【解析】选d.在n=k+1时，没有应用n=k时的归纳假设，不是数学归纳法。
4.【解析】选b.∵f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-an),f(1)=1-a1=1-
f(2)=(1-a1)(1-a2)=f(1)×(1-)=
f(3)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)=
根据其结构特点可得：f(n)=故选b.
5.【解析】因为n为正奇数，且与2k-1相邻的下一个奇数是2k+1，故进而需证n=2k+1时，命题亦真。
答案：2k+1
6.【解题指南】写出f(k)和f(k+1)，采用作差法。
解析】∵f(k)=12+22+…+2k)2,f(k+1)=12+22+…+2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2，f(k+1)-f(k)=(2k+1)2+(2k+2)2，即f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.
答案：f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2
7.【证明】(1)当n=2时，左边=
右边=1，不等式成立。
2)假设当n=k(k≥2,k∈n*)时，不等式成立，即。
那么当n=k+1时，k≥2,∴k2-k-1＞0,1+＞1.
这就是说，当n=k+1时，不等式也成立。
由(1)和(2)可知，原不等式对任意大于1的正整数n都成立。
变式训练】用数学归纳法证明： (n∈n*).
证明】①当n=1时，左边＝1，右边＝1，左边≥右边，结论成立；
假设n=k时，不等式成立，即。
当n=k+1时，
下面证： 作差得。
得结论成立，即当n＝k+1时，不等式也成立。
由①和②知，不等式对一切n∈n*都成立。
8.【解题指南】采用“归纳——猜想——证明”的思想方法。
解析】由条件得2bn=an+an+1, =bnbn+1.
又a1=2,b1=4,由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25,猜测an=n(n+1),bn=(n+1)2.
用数学归纳法证明。
当n=1时，a1=2,b1=4,结论成立。
假设n=k时结论成立，即ak=k(k+1),bk=(k+1)2.那么n=k+1时，ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)
(k+1)［(k+1)+1］,bk+1==(k+2)2=［(k+1)+1］2,n=k+1时，结论也成立。
由①和②知，an=n(n+1),bn=(n+1)2对一切正整数都成立。
挑战能力】解题指南】此题是式子的整除问题，与正整数n有关，用数学归纳法解决是较好的选择。
解析】(1)当n=1时，左边=a2+(a+1)1=a2+a+1，可被a2+a+1整除；
2)假设n=k(k≥1，k∈n*)时，ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除，则当n=k+1时，ak+1+1+(a+1)2(k+1)-1=ak+2+(a+1)2k+1
aak+1+(a+1)2(a+1)2k-1
aak+1+a(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1
a［ak+1+(a+1)2k-1］+(a2+a+1)(a+1)2k-1，由假设可知a［ak+1+(a+1)2k-1］能被a2+a+1整除。
又(a2+a+1)(a+1)2k-1也能被a2+a+1整除，所以ak+2+(a+1)2k+1能被a2+a+1整除，即。
n=k+1时，命题成立。
由(1)和(2)知，对一切n∈n*命题都成立。
方法技巧】用数学归纳法证明整除问题技巧。
应用数学归纳法证明整除性问题时，关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等方法。也可以说将式子“硬提公因式”，即将n=k时的项从n=k+1时的项中“硬提出来”，构成n=k时的项，后面的式子相对变形，使之与n=k+1时的项相同，从而达到利用假设的目的。
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