高三假期作业（1）--数学（理）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只。
有一项是符合题目要求的。
1．命题“，”的否定是（ ）
a．， b．，c．， d．，2．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
a． b．或 c． d．或。
3．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值为5，则输出v的值为。
a． b． c． d．
4．随着网络技术的发达，电子支付变得愈发流行，若电子支付只包含微信支付和支付宝支付两种。
若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为。
a．0.3 b．0.4 c．0.6 d．0.7
5．某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2023年1月至2023年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图（如右）.
根据折线图，下列结论正确的是（ ）
a．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数 b．月跑步平均里程逐月增加。
c．月跑步平均里程高峰期大致在月。
d．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳。
6．已知棱长都为2的正三棱柱的直观图如图，若正三棱柱绕着它的一条侧棱所在直线旋转，则它的侧视图可以为。
7．已知抛物线（）的焦点为，准线为，为坐标原点，点在上，直线与交于点．若，则。
abcd．
8．函数的图像大致为 (
a． b． c． d．
9．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列说法中正确的是。
a．函数的最小正周期是
b．函数的图象关于点成中心对称。
c．函数在单调递增
d．函数的图象向右平移后关于原点成中心对称。
10．已知变量，，且，若恒成立，则的最大值为（ ）
a． b． c． d．1
11．已知为椭圆上的两个动点，,且满足，则的取值范围为。
a． b． c． d．
12.如图，已知四面体为正四面体，分别是中点。若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）
a. bcd.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．
14．过坐标原点作曲线的切线，则曲线、直线与轴所围成的封闭图形的面积为
15．将正奇数按如图所示的规律排列：
则2019在第行，从左向右第个数。
16．已知直线与曲线分别交于两点，则的最小值为
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）等比数列中，．
1）求的通项公式；
2）记为的前项和．若，求．
18．（本小题满分12分）在中，1）若。求；
2）若面积为1，求。
19．（本小题满分12分）如图四棱锥中，底面是正方形，，且，为中点。
1）求证：平面；
2）求二面角的正弦值。
20．（本小题满分12分）某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为50元，每个蛋糕的售价为100元，如果当天卖不完，剩余的蛋糕作垃圾处理。现搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图所示的柱状图。
100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率。
1）若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕。
求当天的利润（单位：元）关于当天需求量的函数解析式；
求当天的利润不低于600元的概率。
2）若蛋糕店计划一天制作16个或17个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的平均值作为决策依据，应该制作16个还是17个生日蛋糕？
21．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的上顶点为，圆经过点．（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于，两点，过点作直线的垂线交圆于另一点．
若△pqn的面积为3，求直线的斜率．
22 ．（本小题满分12分）已知函数．
1）讨论的单调性；
2）若为的两个极值点，证明：.
答案与解析。
1.【答案】c
解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是：，”故选c.
2.【答案】b
解析】：焦点在x轴时，焦点在y轴时，求得结果为
3.【答案】b
解析】：依次运行程序框图中的程序，可得。
满足条件，；
满足条件，；
满足条件，；
满足条件，；
满足条件，．而不满足条件，停止运行，输出．
故选b．4.【答案】b
解析】分析：由公式计算可得。
详解：设设事件a为只用现金支付，事件b为只用非现金支付，则。
因为。所以。
故选b.5.【答案】d
解析】由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程不是逐月增加的；月跑步平均里程高峰期大致在9，l0月份，故a，b，c错。本题选择d选项。
6.【答案】b
解析】无。7.【答案】c
解析】作垂直于，则rt△中，，，所以．选c．
8.【答案】b
解析】：为奇函数，舍去a,舍去d;
所以舍去c；因此选b.
9.【试题简析】由图易得点的横坐标为，所以的周期．
不妨令，．因为周期，所以，又，所以，因此．函数的图象关于点成中心对称．故选b．
10.【答案】a
解析】，即化为，故在上为增函数，故的最大值为，故选a．
11.【答案】c
12.【答案】a
解析】补成正方体，如图。
截面为平行四边形，可得。
可得。当且仅当时取等号，选a.
13.【答案】．
解析】解法一：．
解法二：．14.【答案】.
解析】设切点为，因为，所以，因此在点处的切线斜率为，所以切线的方程为，即；
又因为切线过点，所以，解得，所以，即切点为，切线方程为，作出所围图形的简图如下：
因此曲线、直线与轴所围成的封闭图形的面积为。
15.【答案】32 49
16.【答案】
17.【解析】（1）设的公比为，由题设得．
由已知得，解得（舍去），或．
故或5分。2）若，则．由得，此方程没有正整数解．
若，则．由得，解得．
综上5分。点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题。
18.【解析】；由题设知2分
所以4分。大边对大角，所以6分。
2），容易得出，……8分。
在中，由余弦定理得。
所以12分。
19.【解析】
1）证明：∵底面为正方形，∴，又，平面，∴.同理，∴平面。……4分。
2）建立如图的空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为2
则，设为平面的一个法向量，又，……6分。
令，得。同理是平面的一个法向量，……10分。
则。∴二面角的正弦值为。……12分。
20.【解析】；
1）当天的利润关于当天需求量的函数解析式为：
4分。设“当天利润不低于”为事件，由①知，“当天利润不低于”等价于“需求量不低于个”
所以当天的利润不低于元的概率为：．…6分。
2）若一天制作个蛋糕，则平均利润为：；
若一天制作个蛋糕，则平均利润为：；
蛋糕店一天应该制作个生日蛋糕。……12分。
21.【解析】；（1）因为椭圆的上顶点为，所以，又圆经过点，所以2分。
所以椭圆的方程为． …4分。
（2）若的斜率为0，则，所以△pqn的面积为，不合题意，所以直线的斜率不为0． …5分。
设直线的方程为，由消，得，
设，则，所以。
8分。直线的方程为，即，所以9分。
所以△pqn的面积，解得，即直线的斜率为12分。
第（2）小题的若没有讨论“若的斜率为0”，则扣一分（原因是直线的方程使用）
22 ．【解析】（1）的定义域为，，…1分。
对于函数，当时，即时，在恒成立．
在恒成立，在为增函数；……2分。
当，即或时，当时，由，得或，在为增函数，减函数，为增函数，……4分。
当时，由在恒成立，在为增函数．……5分。
综上，当时，在为增函数，减函数，为增函数；当时，在为增函数．……5分。
2）由（1）知，且，……6分。
故。…9分。
故只需证明，令，故，原不等式等价于对成立，容易得证。……12分。
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