机械优化设计作业

要求根据目标函数和约束条件采用适合的matlab优化函数求解优化问题，即线性规划问题、无约束非线性规划、约束非线性规划问题、二次规划问题。

问答题要求：（1）对该问题进行分析，写出该问题的优化模型（包括设计变量、目标函数、约束条件）；

2）将优化模型转化为matlab程序（m文件）；

3）利用matlab软件求解该优化问题，写出最优解。

题目一：分析：目标函数：min f=x1+x2+x3

此为线性规划问题，有一个等式约束，一个不等式约束；

采用命令：x=linprog（c，a，b，aeq,beq）

1,编写m文件如下：

c=[1 1 1];

a=[-1 -2 -3];

b=[-15];

aeq=[2 1 5];

beq=[20];

lb=[0;0;0;];

ub=x,fval,exitflag]=linprog(c,a,b,aeq,beq,lb,ub);

x = linprog(f,a,b,aeq,beq,lb,ub) 功能：求解最小化问题 min f*x 条件 a*x ≤ b aeq*x = beq lb ≤ x ≤ ub，决策变量有上下限时，如果没有不等式就设置a = 和b = 没有等式就设置 aeq=beq=

2,运行结果；

optimization terminated.

> x =

> fval = 5.7143

> exitflag =1

题目二：分析：目标函数：min f=0.5x1^2+x2^2-x1x2-2x1-6x2

此为二次规划问题，并为线性约束；

采用命令[x,fval,exitflag,output, grad,hessian]=

fmincon(@fun,x0,a,b,aeq,beq,lb,ub,’nlc’,options,p1,p2…)

1.先编写m文件fun。m定义目标函数：

function f=fun(x);

f=0.5*x(1).*x(1)+x(2).*x(2)-x(1).*x(2)-2*x(1)-6*x(2);

2.再在m文件命令窗口里编写主程序；

clear;

clc;a=[1 1;-1 2;2 1];

b=[2;2;3];

aeq=beq=

lb=[0;0];

ub=x,fval]=fmincon(@fun,a,b,aeq,beq,lb,ub)

运行结果：x =

fval =

linprog适用于有约束条件的线性问题的最小值求解。

运算正常终止。

你现在输入。xfval

就可以得到最优点和最优值。

题目三：分析：目标函数：min f=exp(x(1))

*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);

此为非线性规划问题，并为非线性约束；

采用命令[x,fval,exitflag,output, grad,hessian]=

fmincon(@fun,x0,a,b,aeq,beq,lb,ub,’nlc’,options,p1,p2…)

1,.先编写m文件fun1。m定义目标函数：

function f=fun1(x);

f=exp(x(1))*4*x(1)*x(1)+2*x(2)*x(2)+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);

2，在建立m文件mycon。m定义非线性约束；

function[c,cep]=mycon(x)

c=[x(1)*x(2)-x(1)-x(2)+1.5;-x(1)*x(2)-10];

cep=3.再在m文件命令窗口里编写主程序；

clear;

clc;x0=[-1;1];a=b=

aeq=beq=

lb=ub=

x,fval,extiflag]=fmincon(@fun1,x0,a,b,aeq,beq,lb,ub,@mycon)

4，运算结果：x =

fval =

extiflag =

题目四：计算下面函数在区间(0，1)内的最小值。

分析：目标函数：min

此为无约束问题；是解单变量问题，f目标函数为连续函数，对于简单优化问题。

采用fminbnd函数，其格式为； [xopt,fopt]=fminbnd(fun,x1,x2,options)

1,.先编写m文件fun2。m定义目标函数：

function f=fun2(x);

f=( x^3+cos(x)+x*log(x) )exp(x))

2.再在m文件命令窗口里编写主程序；

clear;

clc;x,fval,exitflag]= fminbnd(@fun2,0,1)

3，运算结果：x =

fval =

题目五：某厂生产甲、乙两种产品，已知制成一吨产品甲需用a资源3吨，b资源4m3；制成一吨产品乙需用a资源2吨，b资源6m3，c资源7个单位。若一吨产品甲和乙的经济价值分别为7万元和5万元，三种资源的限制量分别为90吨、200m3和210个单位。

试应生产这两种产品各多少吨才能使创造的总经济价值最高？

1. 确定变量：

设生产产品甲的数量为x1，生产产品乙的数量为x2，所以决策变量：

x=[x1,x2]t

2. 建立目标函数：

根据两种产品的经济价值情况，按照实现总的利润最大化，建立关于决策变量的函数：

max z=7 x1+5 x2

3.确定约束条件：

根据三种资源数量限制，建立三个线性不等式约束条件。

3x1+2x2<=90

4x1+6x2<=200

7x2<=210

x1>=0，x2>=0

该模型中要求目标函数最大化而matlab是求最小值的，所以应先转化，即得。

目标函数为：

min z=-7 x1-5 x2就这样建立为线性规划的数学模型。

4.在m文件的命令窗口输入如下的命令：

clear;

clc;c=[-7 -5];

a=[3 2;4 6;0 7];

b=[90;200;210];

aeq=beq=

lb=[0;0;];

ub=x,fval,exitflag]=linprog(c,a,b,aeq,beq,lb,ub);

5.运行结果：

optimization terminated.x =

fval =

题目六：已知：制造一体积为100m3，长度不小于5m，不带上盖的箱盒，试确定箱盒的长x1，宽x2，高x3，使箱盒用料最省。

1确定变量：

设该箱盒的长，宽，高分别为x1，x2，x3，所以决策变量：

x=[x1, x2，x3]t

2建立目标函数：

根据题目要求不带上盖的箱盒而使箱盒用料最省，建立关于决策变量的函数：

min z= x(1)^2 +2x(2)x(3)+2x(1)x(3)

3.确定约束条件：

根据要求建立约束条件。

x1x2x3=100；

x1>=5；

x2>=0，x3>=0

此数学模型中有非线性的等式约束。

先建立m文件编写mycon2。m建立非线性等式约束。

function[c,cep]=mycon2(x)

c=cep=[100-x(1)*x(2)*x(3)];

再建立m文件编写fun3。m

function f=fun3(x);

f=x(1)*x(2)+2*x(2)*x(3)+2*x(1)*x(3);

最后在m文件命令窗口里编写主程序。

x0=[5;1;1]

a=[-1 0 0];

b=[-5];

aeq=beq=

lb=[0;0;0];

ub=x,fval,extiflag]=fmincon(@fun3,x0,a,b,aeq,beq,lb,ub,@mycon2)

运行结果：x =

fval =

extiflag =

题目七：机床主轴是机床中重要零件之一，一般为多支承空心阶梯轴。为了便于使用材料力学公式进行结构分析，常将阶梯轴简化成以当量直径表示的等截面轴。

在设计时有两个重要因素需要考虑，即主轴的自重和伸出端c点的挠度。图1所示的为一根简化的机床主轴。要求以主轴的自重为目标，对该主轴进行优化设计。

已知条件：主轴材料为45#，内径d=30mm，外力f=15000n，许用挠度y0=0.05mm，材料的弹性模量e=210gpa，许用应力[σ]180mpa，材料的密度为。

300≤≤650， 60≤≤110， 90≤≤150。、、的量纲均为毫米。试建立机床主轴以主轴自重最轻为目标的优化设计数学模型。

其中，c点的挠度：；。

1确定变量：

设该空心阶梯轴的长l，外径d，伸出的轴长a分别为x1，x2，x3，所以决策变量：

x=[l, d，a]t=[x1, x2，x3]t

2建立目标函数：

根据题目要求机床主轴以主轴自重最轻，建立关于决策变量的函数：

min f= 0.25（l+a）（d^2-d^2）

带入数值，d=30mm

计算为f=6126.10567(x(1)+x(3)) x(2)^2 -0.0009)

3. 确定约束条件：

此应满足两个条件，一是端点c处的扰度最大值应小于0.05mm，二是此轴的强度应满足要求。

对于最大扰度： <0.05mm

进行化简得(其中，e=210gpa，f=15000n)

x(3)^3*(x(1)+x(3))/x(2)^4 -0.00000081))-103.083<=0;

对于强度条件：

其中=进行化简得(x(3)/(x(2)^3-0.000027))-1178.0972<=0;

这便建立了一个非线性规划的数学模型。

先建立m文件编写mycon3。m建立非线性等式约束。

function[c,cep]=mycon3(x)

c=[(x(3)*x(3)*x(3)*(x(1)+x(3)))x(2)*(x(2)*x(2)*x(2)-0.00000081)))103.083;(x(3)/(x(2)*x(2)*x(2)-0.

000027))-1178.0972];

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