【基础再现】
1．函数y＝log3(－x2＋4x＋5)的定义域是 ；值域是。
意图：对数函数的定义域、值域、单调性)
答案：（－2）．
2．方程log5(2x＋1)＝log5(x2－2)的解为。
意图：对数函数定义域．
答案：3．3．用“＞”或“＜”填空：
1）log0.33.4 log0.33.8；（2） ；3）log25 log38．
意图：对数化简及对数函数的单调性的应用)
答案：（1）＞；2）＜；3）＞．
4．log0.60.8，log3.40.7和(0.3)的大小关系为。
答案：(0.3)＞log0.60.8＞log3.40.7．
5．函数y＝lg|x|的单调增区间是。
意图：复习函数的图象及图象变换，从而根据图象研究函数的性质)
答案：（0，＋∞
典型例题】例1】求下列函数的定义域：
（1）f(x)＝log2x－1(2－x)；（2）f(x)＝；3）f(x)＝．
解： （1）由可知定义域为 (，1)∪(1，2)；
2）由2－ln(3－x)≥0得到，0＜3－x≤e，所以函数的定义域为[3－e2，3);
3）由log0.5(x－1)＞0，得到0＜x－1＜1，所以函数的定义域为(1，2)．
命题意图：复习定义域求法及对数函数的单调性——主要利用对数函数的单调性解不等式，依次在载体总结对数的不等式常见类型，解法及注意点．
变式：求函数f(x)＝的定义域．
例2】 求函数y＝log (x2－6x＋17)的值域．
命题意图： 强化求y＝logaf(x)型函数值域的方法与步骤(不仅需要考察底数的范围——确定单调性，还需求出真数的范围).
解：(1) 设g(x)＝x2－6x＋17,其对称轴为x=3，当x∈r时，g(x)的范围是[8,＋∞
又0＜＜1，y＝logx单调递减，即所求值域为(－∞3].
小结：先求出真数的范围，再结合对数函数的单调性求其值域。
练习：求下列函数的值域：
（1）y＝ln，x∈[1，2]；
（2）y＝lg．
解：（1）设h(x)＝，则h(x)＝3＋，∵x∈[1，2]，∴x＋1∈[2，3]，－h(x)≤，由e＞1，所求值域为[ln，ln]．
2）∵－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4≤4，∴0＜≤2，故ymax＝lg2，所求值域为(－∞lg2]．
例3】 若x∈[，9]，求f(x)＝log3·log3(3x)的最大值与最小值，并求出此时x的值．
设计意图： 复习求y＝f(logax)(a＞0，且a≠1)型函数值域的方法，体验化归转化在解题中的应用．
解：y＝f(x)＝(log3x－3)(log3x＋1)，设t＝log3x，则由x∈[，9]，得t∈[－3，2]．
y＝t2－2t－3＝(t－1)2－4，t∈[－3，2]，故t＝1，即x＝3时，f(x)min＝－4，t＝－3，即x＝时，f(x)max＝12．
小结：函数f(x)的结构不清，需通过化简以简化函数结构。
变式：设g(x)＝log3x，x∈[，9]．求函数f(x)＝g()·g(3x)的最大值和最小值，及相应的x的值．
解：f(x)的定义域为[1，3]．
y＝f(x)＝(log3x－3)(log3x＋1)，设t＝log3x，则由x∈[1，3]，得t∈[0，1]．
y＝t2－2t－3＝(t－1)2－4，t∈[0，1]，故t＝1，即x＝3时，f(x)min＝－4，t＝0，即x＝1时，f(x)max＝－3．
小结：（1）注意变形过程中函数的定义域的变化——根据定义域优先的原则：先求出函数的定义域．
（2）本题求最值的条件的实质——解对数方程．由此复习对数方程的常见类型、方法及注意点．练习看必修1教材p69页练习4．
例4】 已知函数f(x)＝log (x2－2ax＋3)．解答下述问题：
1）若该函数的定义域为r，求实数a的取值范围；
2）若该函数的值域为r，求实数a的取值范围．
解： 记u＝g(x)＝x2－2ax＋3＝(x－a)2＋3－a2，1）u＞0对任意x∈r恒成立，∴3－a2＞0，解得－＜a＜，a的取值范围是－＜a＜;
2）“logu的值域为r”(0，＋∞3－a2，＋∞a＜－或a＞，a的取值范围是a＜－或a＞；
评注：（1）中定义域为r不等式x2－2ax＋3＞0＞0在r上恒成立；(2)中值域为r函数u＝x2－2ax＋3能够取遍所有的正实数，两者本质不同．
变式1：已知函数f(x)＝．解答下述问题：
1）若该函数的定义域为r，求实数a的取值范围；
2）若该函数的值域为[0，＋∞求实数a的取值范围．
解：（1）[－2
意图：检查巩固对例题解法的理解掌握．
变式2：已知函数f(x)＝log (x2－2ax＋3)．解答下述问题：
1）若该函数在[－1，＋∞内有意义，求实数a的取值范围；
2）若该函数的定义域为(－∞1)∪(3，＋∞求实数a的取值范围．
解： （1）问题等价于“x2－2ax＋3＞0对任意x∈[－1，＋∞恒成立”，只需保证u＝g(x)＝x2－2ax＋3在[－1，＋∞上的最小值umin＞0．
所以或解得－2＜a＜，a的取值范围是－2＜a＜．
2）由定义域的概念知，命题等价于不等式x2－2ax＋3＞0的解为x＜1或x＞3，1，3是方程x2－2ax＋3＝0的两根，…，解得a＝2．
课后强化】1．已知函数f(x)＝则f(f())的值是。
答案：．提示：，．
2．函数f(x)＝log (－x2＋2x＋3)的定义域是 ；值域是。
答案：(－1，3)；(2，＋∞
3．若loga＜1，则a的取值范围是。
答案：a＞1或0＜a＜
4．函数y＝(logx)2－logx＋5在区间[2，4]上的最大值为最小值为___
答案：11，．
5．方程lg(1－3x)＝lg(3－x)＋lg(7＋x)的解是。
答案：6．已知x＞1，y＞1，且2logxy－2logyx＋3＝0，则x2－4y2的最小值为___
答案：－47．函数y＝logax在[2，＋∞上恒有|y|＞1，则a的取值范围是。
答案：(，1)∪(1，2)
8．若t∈[－2，2]时，恒有(log2x)2＋(t－2)log2x＋1－t＞0，求实数x的取值范围．
解： t∈[－2，2]时，恒有(log2x)2＋(t－2)log2x＋1－t＞0，即f(t)＝(log2x－1)t＋[(log2x)2－2log2x＋1]＞0，所以解得0＜x＜，或x＞8．
9．已知函数f(x)＝2＋log3x(1≤x≤9)，求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值和最小值，并求出相应x的值．
解：由，解得函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为[1，3]．
y＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2＝(log3x＋3)2－3，令t＝log3x，则y＝(t＋3)2－3，t∈[0，1]，所以t＝0，即x＝1时，ymax＝6；t＝1，即x＝3时，ymin＝13．
综上：当x＝1时，函数y有最小值6，当x＝3时，函数y有最大值13．
10．在函数y＝logax(a＞1，x＞1)的图象上有a、b、c三点，它们的横坐标分别为m，m＋2，m＋4，若△abc的面积为s，求函数s＝f(m)的值域．
解：设a、b、c在x轴上的射影分别为a1，b1，c1，s＝f(m)
[logam＋loga(m＋2)]＋loga(m＋2)＋loga(m＋4)]
2[logam＋loga(m＋4)]
loga＝loga[1＋]
loga[1＋](m＞1)
m＞1，∴(m＋2)2－4＞5，∴0＜＜，1＜1＋＜，又a＞1，∴函数s＝f(m)的值域为(0，loga)．
11．已知函数y＝loga(a2x)·loga(ax)(x∈[2，2])的值域是[－，0]，求实数a的值。
解：设t＝logax，y＝(logax＋2)(logax＋1)＝t2＋3t＋2＝(t＋)2－，设f(t)＝t2＋3t＋2．
所以当且仅当t＝－时，y取得最小值－，由于x∈[2，2]，因此0＜a＜1，故t∈[loga2，loga2]，且－∈[loga2，loga2]，由f(t)＝0，得到t＝－1或t＝－2，若loga2＝－1，则a＝，loga2＝－，符合题意；
同样， loga2＝－2，则a＝2，loga2＝－，符合题意；
综上，a＝或－．
回顾：通过换元转化为前面的问题，实际就是前面的二次函数的最值的问题．
12．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈r)是偶函数．
1）求k的值；
2）证明：对任意实数b，函数y＝f(x)的图像与直线y＝x＋b最多只有一个交点；
3）设g(x)＝log4(a·2x－a)，若函数f(x)与g(x)的图像有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．
解：（1）k＝－；
2）“唯一性”——只要证明函数y＝f(x)－x＝log4(4x＋1)－x在定义域上是单调函数即可；
3）原问题等价于方程2x＋＝a·2x－a有且只有一个实数根．
令2x＝t＞0，则方程(a－1)t2－at－1＝0有且只有一个正根，故。
a＝1时，t＝－，不合题意；
△＝0，即a＝或a＝－3时，由a＝，得t＝－，不合题意；由a＝－3，得t＝；
一个正根与一个负根时，由＜0，得到a＞1．
综上所述，实数a的取值范围是a＝－3或a＞1．
小结：本题由于函数由不同类的两部分组成，无法进行运算，故可以考虑从函数的单调性方面进行等价转化．
10对数函数
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10对数函数
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