数学函数综合练习。
一、选择题：
1．设集合a=，b=，则等于（ ）
a． b． c．x | x＞－3｝ d．｛x | x＜1｝
2．已知， 则是的( )条件。
a. 充分不必要 b. 必要不充分 c. 充要 d. 既不充分也不必要。
3．设，则（ ）
a． b． c． d．
4.曲线在点处的切线方程是（ ）
a. b. c. d.
5.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
a. b. c. d.
6.有下列四个命题：
①“若x+y=0 , 则x ,y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1 ,则x2 + 2x+q=0有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；
其中真命题为（ ）
a．①②b．②③c．①③d．③④
7.若函数的定义域是，则的取值范围是（ ）
a．＜＜b． c． d．＜
8.当时，在同一坐标系中，函数的图象是（ ）
a bcd9.设是上的一个运算，是的非空子集，若对任意，有，则称对运算。
封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（ ）
ａ．自然数集 ｂ．有理数集 ｃ．整数集 ｄ．无理数集。
10.设集合，则满足的集合b的个数是（ ）
a．1 b．3 c．4 d．8
11.已知集合m＝｛x|｝，n＝｛y|y＝3x2＋1，x∈r｝，则m∩n＝（
a． b． c．｛x|x＞1｝ d．
12.已知集合m＝｛x|x＜3｝，n＝｛x|log2x＞1｝，则m∩n＝（
a． b．｛x|0＜x＜3｝ c．｛x|1＜x＜3｝ d．｛x|2＜x＜3｝
13.函数的反函数是（ ）
a． b． c． d．
14.函数的定义域是（ ）
a． b． c． d．
15.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
a． b． c． d．
16.函数的反函数的图象与y轴交于点（如图2所示），则方程。
的根是（ ）
a．4 b．3 c．2 d．1
17.已知函数若则（ ）
a． b．c． d．与的大小不能确定。
18.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解。
密），已知加密规则为：明文对应密文例如，明文对。
应密文当接收方收到密文时，则解密得到的明文为（ ）
a． b． c． d．
19.已知是上的减函数，那么 a 的取值范围是（ ）
a．（0，1） b．（0，） c．， d．
20.函数的定义域是（ ）
a． b． c． d．
21.已知函数，对任意的两个不相等的实数，都有成立，且，则的值是（ ）
a．0 b．1 c．2006！ d．（2006！）2
22.函数的值域是（ ）
a．r b． c．（－3 d．
23.已知函数满足，对于任意的实数都满足，若，则函数的解析式为（ ）
a． b． c． d．
24.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意，恒成立”的只有（ ）
a． b． c． d．
25.定义在（－∞上的奇函数f（x）和偶函数g（x）在区间（－∞0上的图像关于x轴对。
称，且f（x）为增函数，则下列各选项中能使不等式f（b）－f（－a）＞g（a）－g（－b）成立的。
是（ ）a．a＞b＞0 b．a＜b＜0 c．ab＞0 d．ab＜0
26.为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购**与其前三个月的市场收购**有关，且。
使与其前三个月的市场收购**之差的平方和最小．若下表列出的是该产品前6个月的市场收购。
**：则7月份该产品的市场收购**应为（ ）
a．69元 b．70元 c．71元 d．72元。
27.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为l1=5.
06x－0.15 x 2和l2=2 x，其中x为销售量（单位：辆）.
若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（ ）
a．45.606 b．45.6 c．45.56 d．45.51
28.如图所示，fi（x）（i=1，2，3，4）是定义在［0，1］上的四个函数，其中满足性质：“对。
［0，1］中任意的x1和x2，任意λ∈［0，1］，f［λx1+（1－λ）x2］≤λf（x1）+（1－λ）
f（x2）恒成立”的只有（ ）
f1（x） f2（x） f3（x） f4（x）
a．f1（x），f3（x） b．f2（x） c．f2（x），f3（x） d．f4（x）
29.如图所示，单位圆中弧ab的长为x，f（x）表示弧ab与弦ab所围成的弓形面积的2倍，则函数。
y=f（x）的图象是（ ）
30.关于的方程，给出下列四个命题：
①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根。
其中假命题的个数是（ ）
a．0 b．1 c．2 d．3
二、填空题。
31．若幂函数过点，则。
32. 如果奇函数在时， ,则在整个定义域上的解析式。
为。33．函数对于任意实数满足条件，若则___
34．设函数y＝f（x）是最小正周期为2的偶函数，它在区间［0，1］上的图象为如图14所示的线段。
ab，则在区间［1，2］上f（x
35．设函数的定义域为r，若存在常数m>0，使对一切实数x均成立，则称为。
f函数．给出下列函数：
⑤是定义在r上的奇函数，且满足对一切实数x1、x2均有 ．其中。
是f函数的序号为。
36．汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率g（即每小时的汽油耗油量，单位：l/h）与汽车行驶的平均速度v（单位：km/h）之间有所示的函数关系：
“汽油的使用率最高”（即每千米汽油平均消耗量最小，单位：l/km），则汽油的使用率最高时，汽车速度是l/km）.
37．设则。
38．设，则的定义域为。
39．已知函数f (x)是周期为2的函数，当－1＜x＜1时，f (x)＝x2＋1，当19＜x＜21时，f (x)的解析式是。
40．已知二次函数y＝f (x)满足f (2x＋3)＝4x2＋8x，则f (x)在(－∞1]上的反函数是___
三、解答题。
41．已知函数满足且对于任意， 恒有成立。
（1）求实数的值；
（2）解不等式。
42．20个下岗职工开了50亩荒地，这些地可以种蔬菜、棉花、水稻，如果种这些农作物每亩地所需的劳力和预计的产值如下：
问怎样安排，才能使每亩地都种上作物，所有职工都有工作，而且农作物的预计总产值达到最高？
43. 对于函数f(x)，若存在x0∈r,使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)
（1）若a=1,b=–2时，求f(x)的不动点；
（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
44．已知函数。
（1）若且函数的值域为，求的表达式；
（2）在（1）的条件下， 当时， 是单调函数， 求实数k的取值范围；
（3）设， 且为偶函数， 判断＋能否大于零？
45．设函数是奇函数（都是整数，且，.
（1）求的值；
（2）当，的单调性如何？用单调性定义证明你的结论．
46．已知二次函数．
（1）若a＞b＞c， 且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点；
（2）在（1）的条件下，是否存在m∈r，使池f（m）=－a成立时，f（m+3）为正数，若存在，证明你。
的结论，若不存在，说明理由；
（3）若对，方程有2个不等实根，．
47．对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：
为， 要求清洗完后的清洁度为。 有两种方案可供选择， 方案甲： 一次清洗； 方案乙：
分两次清洗。 该物体初次清洗后受残留水等因素影响， 其质量变为。 设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是， 用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是， 其中是该物体初次清洗后的清洁度．
（1）分别求出方案甲以及时方案乙的用水量， 并比较哪一种方案用水量较少；
（2）若采用方案乙， 当为某固定值时， 如何安排初次与第二次清洗的用水量， 使总用水量最小？
并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响．
48．已知函数。
（1）求证：函数是偶函数；
（2）判断函数分别在区间、上的单调性， 并加以证明；
（3）若， 求证： ．
49．设函数。
（1）在区间上画出函数的图像；
（2）设集合。 试判断集合和之间的关。
系，并给出证明；
（3）当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方。
50．设f（x）是定义在[0， 1]上的函数，若存在x*∈（0，1），使得f（x）在[0， x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f（x）为[0， 1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意的[0，l]上的单峰函数f（x），下面研究缩短其含峰区间长度的方法．
（1）证明：对任意的x1，x2∈（0，1），x1＜x2，若f（x1）≥f（x2），则（0，x2）为含峰区间；若f（x1）≤f（x2），则（x*，1）为含峰区间；
（2）对给定的r（0＜r＜0.5），证明：存在x1，x2∈（0，1），满足x2－x1≥2r，使得由（i）所确定的含峰区间的长度不大于 0.5＋r；
（3）选取x1，x2∈（0， 1），x1＜x2，由（i）可确定含峰区间为（0，x2）或（x1，1），在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为（0，x2）的情况下，试确定x1，x2，x3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.
（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）
参***：
一、选择题：
1-10： a a c d c c b c b c
11-20：c d a b a c b b c b
21-28：b c d a a c b a
29．d．解析：当时，阴影部分面积为个圆减去以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积，故此时，即点在直线y=x的下方，故应在c、d中选；
而当时，阴影部分面积为个圆加上以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积，即，即点（）在直线y=x的上方，故选d．
30．b．解析：据题意可令①，则方程化为②，作出函数的图象，结合函数的图象可知：
（1）当t=0或t＞1时方程①有2个不等的根；
（2）当0＜t＜1时方程①有4个根；
（3）当t=1时，方程①有3个根。
故当t=0时，代入方程②，解得k=0，此时方程②有两个不等根t=0或t=1,故此时原方程有5个根；
当方程②有两个不等正根时，即，此时方程②有两根且均小于1大于0，故相应的满足方程的解有8个，即原方程的解有8个；
当时，方程②有两个相等正根t＝，相应的原方程的解有4个；
故选b．二、填空题。
31. 2； 32. ；33．； 34．x； 35．①④
36．（km/h）； 37．； 38．.
39．f (x)＝ x－20)2＋1； 40．
三、解答题。
41．解析：
（1）由知， …
又恒成立， 有恒成立，故．
将①式代入上式得：, 即故．
即， 代入②得．
（2） 即
∴解得：,
∴不等式的解集为．
42．解析：
设种蔬菜、棉花、水稻分别为x亩，y亩，z亩，总产值为u，依题意得x+y+z=50，，则u=1100x+750y+600z=43500+50x.
∴ x0,y=90－3x0,z=wx－400,得20x30,∴当x=30时，u取得大值43500，此时y=0,z=20.
∴安排15个职工种30亩蔬菜，5个职工种20亩水稻，可使产值高达45000元．
43.解析：
（1）当a=1,b=–2时，f(x)=x2–x–3
由题意可知x=x2–x–3，得x1=–1,x2=3
故当a=1,b=–2时，f(x)的两个不动点为–1,3
（2）∵f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)恒有两个不动点，∴x=ax2+(b+1)x+(b–1)，即ax2+bx+(b–1)=0恒有两相异实根。
∴δ=b2–4ab+4a＞0(b∈r)恒成立。
于是δ′=4a)2–16a＜0，解得0＜a＜1
故当b∈r，f(x)恒有两个相异的不动点时，0＜a＜1
44．解析：
又恒成立，
当或时， 即或时，是单调函数。
（3）∵是偶函数，∴,
∵设则。又。
∴＋,能大于零。
45．解析：
（1）由是奇函数，得对定义域内x恒成立，则对对定义域内x恒成立，即 ．
（或由定义域关于原点对称得）
又。由①得，代入②得，又是整数，得．
（2）由（１）知，当，在上单调递增，在上单调递减。
下用定义证明之。
设，则，因为，∴，故在上单调递增．
同理可证在上单调递减。
46．解析：
∴的图象与x轴有两个交点。
（2）的一个根，由韦达定理知另一根为。
则，在（1，+∞单调递增，即存在这样的m使。
（3）令，则是二次函数。
的根必有一个属于。
47．解析：
（1）设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z，由题设有=0.99，解得x=19.
由得方案乙初次用水量为3，
第二次用水量y满足方程：解得，故。
即两种方案的用水量分别为19与。
因为当，故方案乙的用水量较少。
（2）设初次与第二次清洗的用水量分别为与，类似（i）得，（*
于是+当为定值时，当且仅当时等号成立。
此时。将代入（*）式得。
故时总用水量最少， 此时第一次与第二次用水量分别为，
最少总用水量是。
当，故t（）是增函数（也可以用二次函数的单调性判断）.
这说明，随着的值的最少总用水量， 最少总用水量最少总用水量。
48．解析：
（1）当时，则。
∴ 当时， ，则，∴
综上所述，对于，都有，∴函数是偶函数。
（2）当时，设，则．
当时，；当时，∴函数在上是减函数，函数在上是增函数。
（3）由（2）知， 当时，又由（1）知，函数是偶函数，
∴当时，∴若， ，则，∴，即。
49．解析：
（1）在区间上函数的图像如图：
（2）方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此。
由于。（3）解法一：
当时，.，又，①当，即时，取，.，则。
②当，即时，取，＝.
由①、②可知，当时，，.
因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方。
解法二：当时，.
由得，令，解得或，在区间上，当时，的图像与函数的图像只交于一点；
当时，的图像与函数的图像没有交点。
如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到。
因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方。
50．解析：
（1）证明：设x*为f（x） 的峰点，则由单峰函数定义可知，f（x）在[0， x*]上单调递增，在[x*， 1]上单调递减．
当f（x1）≥f（x2）时，假设x*（0，x2），则x1＜x2＜x*，从而f（x*）≥f（x2）＞f（x1），这与f（x1）≥f（x2）矛盾，所以x*∈（0，x2），即（0，x2）是含峰区间。
当f（x1）≤f（x2）时，假设x*（ x2， 1），则x*＜≤x1＜x2，从而f（x*）≥f（x1）＞f（x2），这与f（x1）≤f（x2）矛盾，所以x*∈（x1， 1），即（x1， 1）是含峰区间。
（2）证明：由（i）的结论可知：
当f（x1）≥f（x2）时，含峰区间的长度为l1＝x2；
当f（x1）≤f（x2）时，含峰区间的长度为l2=1－x1；
对于上述两种情况，由题意得。
由①得 1＋x2－x1≤1+2r，即x1－x1≤2r.
又因为x2－x1≥2r，所以x2－x1=2r， ②
将②代入①得x1≤0.5－r， x2≥0.5－r， ③
由①和③解得 x1＝0.5－r， x2＝0.5＋r．
所以这时含峰区间的长度l1＝l1＝0.5＋r，即存在x1，x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r．
（3）解：对先选择的x1、x2，x1＜x2，由（ii）可知x1＋x2＝l， ④
在第一次确定的含峰区间为（0， x2）的情况下，x3的取值应满足x3＋x1＝x2， ⑤
由④与⑤可得，当x1＞x3时，含峰区间的长度为x1．
由条件x1－x3≥0.02，得x1－（1－2x1）≥0.02，从而x1≥0.34．
因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取x1＝0.34，x2＝0.66，x3=0.32．
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