1、与函数y=x表示相同函数的是 [
则、值域不同，排除c．而。
评注判断两个函数是否相同，要看函数的三要素：定义域，值域，对应法则．其中对应法则不能仅仅从解析式上考虑，要分析其对应法则的本质．
2、求下列函数的定义域。
5)设f(x)的定义域为[0，2]，求函数f(x+a)+f(x-a)(a＞0)的定义域．
定义域是空集，函数是虚设的函数。
2)由函数式可得。
函数的定义域是，定义域是一个孤立的点(-1，0)的横坐标。
3)∵x2-4≠0
x≠±2函数定义域为(-∞2)∪(2，+2)∪(2，+∞
4)从函数式可知，x应满足的条件为。
函数的定义域为。
5)∵f(x)定义域为[0，2]
所以f(x+a)+f(x-a)中x应满足。
又∵a＞0，若2-a≥a，则a≤1
即0＜a≤1时，f(x+a)+f(x-a)的定义域为。
当a＞1时，x∈
评注求f(x)的定义域就是求使函数f(x)有意义的x的取值范围，定义域表示法有：不等式法，集合法，区间表示法等．
3、求下列函数的值域。
解 (1)由原式可化为。
2)将函数变形，整理可得：
2yx2-4yx+3y-5=0
当y=0时，-5=0不可能，故y≠0
x∈rδ=(4y)2-4×2y×(3y-5)≥0
即y(y-5)≤0解得0≤y≤5
而y≠00＜y≤5
故函数值域为(0，5]
此二次函数对称轴为t=-1
评注求函数值域方法很多，此例仅以三个方面给出例子．学习时要分析函数式的结构特征，从而确定较简单的求值域的方法．
4、(1)已知f(x)=x2，g(x)为一次函数，且y随x值增大而增大．若f[g(x)]=4x2-20x+25，求g(x)的解析式。
解：(1)∵g(x)为一次函数，且y随x值增大而增大。
故可设g(x)=ax+b(a＞0)
f[g(x)]=4x2-20x+25
(ax+b)2=4x2-20x+25
即：a2x2+2abx+b2=4x2-20+25
解得 a=2，b=-5
故g(x)=2x-5
于是有t的象是t2-1，即f(t)=t2-1(t≥1)
故f(x)=x2-1(x≥1)
f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x(x≥0)
f(x2)=x4-1(x≤-1或x≥1)
评注对于(1)是用待定系数法求函数的解析式，要根据题意设出函数的形式，再利用恒等式的性质解之．求函数解析式的常用方法还有拼凑法，代换法(如(2))，解方程组等．
5、如图1-7，灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽及两边坡总长度为a，边坡的倾角为60°．
1)求横断面积y与底宽x的函数关系式；
评注本题是有关函数的实际问题，其方法是把实际问题用数学的形式表示出来，建立变量之间的函数关系．
6、设x≥0时，f(x)=2，x＜0时，f(x)=1又。
解：当0＜x＜1时，x-1＜0，x-2＜0
当1≤x＜2时，x-1≥0，x-2＜0
当x≥2时，g(x)=2
评注分段函数关键是在x的不同条件下计算方法不同，不要认为是三个不同函数．
7、判断下列各式，哪个能确定y是x的函数？为什么？
1)x2＋y＝1 (2)x＋y2＝1
解 (1)由x2＋y＝1得y＝1－x2，它能确定y是x的函数．
于任意的x∈，其函数值不是唯一的．
8、下列各组式是否表示同一个函数，为什么？
解 (1)中两式的定义域部是r，对应法则相同，故两式为相同函数．
2)、(3)中两式子的定义域不同，故两式表示的是不同函数．
4)中两式的定义域都是－1≤x≤1，对应法则也相同，故两式子是相同函数．
9、求下列函数的定义域：
10、已知函数f(x)的定义域是[0，1]，求下列函数的定义域：
求实数a的取值范围．
为所求a的取值范围．
12、求下列函数的值域：
1)y＝－5x2＋1(3)y＝x2－5x＋6，x∈[－1，1)
4)y＝x2－5x＋6，x∈[－1，3]
9)y＝|x－2|－|x＋1|
解 (1)∵x∈r，∴－5x2＋1≤1，值域y≤1．
6)定义域为r
7)解：定义域x≠1且x≠2
y－4)x2－3(y－4)x＋(2y－5)＝0 ①
当y－4≠0时，∵方程①有实根，∴δ0，即9(y－4)2－4(y－4)(2y－5)≥0
化简得y2－20y＋64≥0，得。
y＜4或y≥16
当y＝4时，①式不成立．
故值域为y＜4或y≥16．
函数y在t≥0时为增函数(见图2．2－3)．
9)解：去掉绝对值符号，其图像如图2．2－4所示．
由图2．2－4可得值域y∈[－3，3]．
求函数值域的方法：
1°观察法：常利用非负数：平方数、算术根、绝对值等．
2°求二次函数在指定区间的值域(最值)问题，常用配方，借助二次函数的图像性质结合对称轴的位置处理．假如求函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，在给定区间[m，n]的值域(或最值)，分三种情况考虑：
如例5)可做公式用．
法求y的范围(如例6－7)．
为二次函数求值域．但要注意中间量t的范围(如例6－8)．
6°分离有界变量法：从已知函数式中把有界变量解出来．利用有界变量的范围，求函数y的值域(如例6－6)．
7°图像法(如例6－9)：
由于求函数值域不像求函数定义域那样有一定的法则和程序可寻，它要根据函数解析式的不同特点灵活用各种方法求解．
解 (2)∵f(－7)＝10，∴f[f(－7)]＝f(10)＝100．
说明本例较简单，但主要用意是深刻理解函数符号f(x)的意义．求分段函数值时，要注意在定义域内进行．
例8】根据已知条件，求函数表达式．(1)已知f(x)＝3x2－1，求①f(x－1)，②f(x2)．
2)已知f(x)＝3x2＋1，g(x)＝2x－1，求f[g(x)]．求f(x)．
4)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)．
5)设周长为a(a＞0)的等腰三角形，其腰长为x，底边长为y，试将y表示为x的函数，并求它的定义域和值域．
1)分析：本题相当于x＝x－1时的函数值，用代入法可求得函数表达式．
解 ∵f(x)＝3x2－1
f(x－1)＝3(x－1)2－1＝3x2－6x＋2
f(x2)＝3(x2)2－1＝3x4－1
2)分析：函数f[g(x)]表示将函数f(x)中的x用g(x)来代替而得到的解析式，∴仍用代入法求解．
解由已知得f[g(x)]＝3(2x－1)2＋1＝12x2－12x＋4
法(或观察法)．
x＝(t＋1)2代入原式有f(t)＝(t＋1)2－6(t＋1)－7
t2－4t－12 (t≥－1)
即f(x)＝x2－4x－12 (x≥－1)
说明解法二是用的换元法．注意两种方法都涉及到中间量的问题，必须要确定中间量的范围，要熟练掌握换元法．
4)分析：本题已给出函数的基本特征，即二次函数，可采用待定系数法求解．
解设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)
由f(0)＝2，得c＝2．由f(x＋1)－f(x)＝x－1，得恒等式2ax＋
说明待定系数是重要的数学方法，应熟练掌握．
5)解：∵2x＋y＝a，∴y＝a－2x为所求函数式．
三角形任意两边之和大于第三边，得2x＋2x＞a，又∵y＞0，说明求实际问题函数表达式，重点是分析实际问题中数量关系并建立函数解析式，其定义域与值域，要考虑实际问题的意义．
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