求二次函数的解析式:
最常用的方法是待定系数法,根据题目的特点,选择恰当的形式,一般,有如下几种情况:?(1)已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;?
2)已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;?(3)已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两点式;?(4)已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式。?
二次函数的应用:
1)应用二次函数才解决实际问题的一般思路:?理解题意;建立数学模型;
解决题目提出的问题。?
2)应用二次函数求实际问题中的最值:?
即解二次函数最值应用题,设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题,然后按求二次函数最值的方法求解。
求最值时,要注意求得答案要符合实际问题。*二次函数的三种表达形式:①一般式:
y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为[,]
把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组,就能解出a、b、c的值。②顶点式:
y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同,当x=h时,y最值=k。有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
例:已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10),求y的解析式。解:设y=a(x-1)2+2,把(3,10)代入上式,解得y=2(x-1)2+2。
注意:与点在平面直角坐标系中的平移不同,二次函数平移后的顶点式中,h>0时,h越大,图像的对称轴离y轴越远,且在x轴正方向上,不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。具体可分为下面几种情况:
当h>0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到;当h<0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到;
当h>0,k>0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)2+k的图象;
当h>0,k<0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;
当h<0,k>0时,将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;
当h<0,k<0时,将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。③交点式:
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线,即b2-4ac≥0] .
已知抛物线与x轴即y=0有交点a(x1,0)和b(x2,0),我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。
由一般式变为交点式的步骤:二次函数。
x1+x2=-b/a,x1?x2=c/a(由韦达定理得),∴y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)
a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]=a(x-x1)(x-x2).重要概念:
a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向。a>0时,开口方向向上;a<0时,开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。
a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式;能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用;能熟练地运用二次函数解决实际问题。二次函数解释式的求法:
就一般式y=ax2+bx+c(其中a,b,c为常数,且a≠0)而言,其中含有三个待定的系数a,b,c.求二次函数的一般式时,必须要有三个独立的定量条件,来建立关于a,b,c的方程,联立求解,再把求出的a,b,c的值反代回原函数解析式,即可得到所求的二次函数解析式。
1.巧取交点式法:
知识归纳:二次函数交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)x1,x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。
已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时,用交点式比较简便。①典型例题一:告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标,和第三个点,可求出函数的交点式。
例:已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1,且通过点(2,8),求二次函数的解析式。点拨:
解设函数的解析式为y=a(x+2)(x-1),∵过点(2,8),∴8=a(2+2)(2-1)。解得a=2,抛物线的解析式为:y=2(x+2)(x-1),即y=2x2+2x-4。
典型例题二:告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴,可利用抛物线的对称性求解。
例:已知二次函数的顶点坐标为(3,-2),并且图象与x轴两交点间的距离为4,求二次函数的解析式。点拨:
在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下,问题比较容易解决.由顶点坐标为(3,-2)的条件,易知其对称轴为x=3,再利用抛物线的对称性,可知图象与x轴两交点的坐标分别为(1,0)和(5,0)。此时,可使用二次函数的交点式,得出函数解析式。2.
巧用顶点式:
顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0),其中(h,k)是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对。
称轴,或能够先求出抛物线顶点时,设顶点式解题十分简洁,因为其中只有一个未知数a。在此类问题中,常和对称轴,最大值或最小值结合起来命题。在应用题中,涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时,一般用顶点式方便.
典型例题一:告诉顶点坐标和另一个点的坐标,直接可以解出函数顶点式。例:已知抛物线的顶点坐标为(-1,-2),且通过点(1,10),求此二次函数的解析式。点拨:
解∵顶点坐标为(-1,-2),故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2(a≠0)。把点(1,10)代入上式,得10=a·(1+1)2-2。∴a=3。
二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2,即y=3x2+6x+1。
典型例题二:
如果a>0,那么当?时,y有最小值且y最小=;如果a<0,那么,当时,y有最大值,且y最大=。
告诉最大值或最小值,实际上也是告诉了顶点坐标,同样也可以求出顶点式。
例:已知二次函数当x=4时有最小值-3,且它的图象与x轴两交点间的距离为6,求这个二次函数的解析式。点拨:
析解∵二次函数当x=4时有最小值-3,∴顶点坐标为(4,-3),对称轴为直线x=4,抛物线开口向上。
由于图象与x轴两交点间的距离为6,根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是(1,0)和(7,0)。
抛物线的顶点为(4,-3)且过点(1,0)。故可设函数解析式为y=a(x-4)2-3。
将(1,0)代入得0=a(1-4)2-3,解得a=13.∴y=13(x-4)2-3,即y=13x2-83x+73。
典型例题三:告诉对称轴,相当于告诉了顶点的横坐标,综合其他条件,也可解出。例如:
1)已知二次函数的图象经过点a(3,-2)和b(1,0),且对称轴是直线x=3.求这个二次函数的解析式。?(2)已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1,图象交y轴于点(0,2),且过点(-1,0),求这个二次函数的解析式。?
3)已知抛物线的对称轴为直线x=2,且通过点(1,4)和点(5,0),求此抛物线的解析式。?
4)二次函数的图象的对称轴x=-4,且过原点,它的顶点到x轴的距离为4,求此函数的解析式.
典型例题四:利用函数的顶点式,解图像的平移等问题非常方便。
例:把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图像的解析式是y=x2-3x+5,则函数的解析式为___点拨:
解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94,即y=(x-32)2+114。
它是由抛物线的图像向右平移3个单位,再向下平移2个单位得到的,原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。
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