数学校本课程no.1
函数（一）一．知识与方法扫描。
函数是高中数学，更是高等数学的基础；是高中数学竞赛的重要内容之一，在“高中数学联赛”中主要考察函数的性质（函数解析式、定义域和值域、函数单调性、周期性）、二次函数、反函数机函数有关的其他问题（函数最值问题、函数图想变换及应用、构造函数解题）。
1.二次函数。
二次函数是函数乃至整个函数的重点，在联赛中地位尤为突出，主要考察：
1） 判别式和韦达定理的应用：在很多竞赛题中特别是解析几何的综合题中，能够灵活利用判别式、韦达定理可达到设而不求、简化计算的目的。
2） 二次函数在闭区间上的最值问题：很多最值问题或参数的取值都可以转化成二次函数在区间上的最值问题，但要注意分类讨论。
3） 二次方程根的分布：用数形结合的思想讨论二次方程根的分布、解决与之相关的综合问题是联赛一试的重点和难点，讨论时常考虑三角形、端点函数值、对称轴的位置。
2.反函数。
互为反函数的图像关于y=x对称，利用该性质求最值、函数值、方程的解，有时非常灵活有效，因而很受联赛重视。
3.高斯函数：f(x)=[x] (取整函数)
其中[x]表示不超过x的最大整数。
联赛中常用到的性质有：
x-1<[x]≤x<[x]+1
x+n]=n+[x]
n+x}=x]+[y] ≤x+y] ≤x]+[y]+1
4．指、对、幂函数（略）
合作**：例1、求f(x)=x2-2ax+1在x∈[1,3]上的最值。
变式求f(x)=x2-2x+3在x∈[t,t+2]上的最值。
例2、若关于x的二次方程7x2-(p+13)x+p2-p-2=0的两根α，β满足0<α<2,求实数p的取值范围。
例3、对于函数f(x)，若存在成立，则称为f(x)的不动点。已知函数(a≠0)
1) 当a=1,b=-2时，求函数f(x)的不动点。
2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围。
例4、 (1)、设f(x)= cos2x-2a(1+cosx)的最小值为- ，求a
(2)、求函数y=(sinx+1)(cosx+1)的值域。
例5、求下列无理函数的值域。
1） y=2x+1+
2） f(x)=
例6.(1)求函数的最小值。
(2) 求函数的最小值。
例7.设a、b、c、是绝对值小于1的实数，证明：ab+bc+ca+1>0
变式：(1)设x、y是实数，且满足。
求x+y的值。
2)正数a、b、c和a、b、c满足条件a+a= b+ b=c+c=k,求证：a b+ bc+ca例8、[x]表示不超过x的最大整数，已知实数x不是整数，且，求x的值。
思考：k为什么实数时，方程x2-2|x|+3=k有四个互不相等的实数根。
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