例、设是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根。（1）若，求的值。（2）求的最大值。
解：因为方程有两个不相等的实数根，所以。
∴。根据题设，有。
1）因为。即。由于，故。
设上是递减的，所以当时，取最大值10。故的最大值为10。
1、已知：a ，b，c三数满足方程组，试求方程bx2+cx-a=0的根。
由方程组得：a、b是方程x2-8x+c2-c+48=0的两根 △=4(c-)2≥0，c=4 a=b=4
所以原方程为 x2+x-1=0 x1=，x2=
2、已知：抛物线y=-x2-(m-4)x+3(m-1)与x轴交于a、b两点，与y轴交于c点。
1)求m的取值范围；(2)若m＜0，直线y=kx-1经过点a，与y轴交于点d，且ad·bd=5，求抛物线的解析式；
3)若a点在b点的左侧，则在第一象限内，(2)中所得的抛物线上是否存在一点p，使直线pa平分△acd的面积？若存在，求出p点坐标；若不存在，请说明理由。
解：(1)抛物线y=-x2-(m-4)x+3(m-1)与x轴有两个交点，方程x2+(m-4)x-3(m-1)=0有两个不等实根，=…m+2)2＞0，所以m≠-2 ……3分。
2)设a(x1，0)、b(x2，0)，则x1，x2是方程x2+(m-4)x-3(m-1)=0的两个实根， x1+x2=4-m，x1·x2=-3(m-1)，d(0，-1) 利用ad·bd=5和根与系数关系整理出(x1·x2)2+(x1+x2)2-2x1x2+1=50 ……7分。
将m的代数式带入上式，得m2-2m-3=0，解得m1=-1，m2=3(不合题意舍去) …8分。
所求抛物线的解析式是y=-x2+5x-6 ……9分。
3)假设存在符合条件的点p，同直线pa过dc的中点m，d(0，-1) ，c(0，-6)，m(0，-)10分。
令y=0，解得x1=2，x2=3，由a在b的左侧，得a(2，0)设pa的解析式为y=kx+b(k≠0)，求得直线am为y=x-
由得 ∴在第一象限内，抛物线上不存在点p，使pa平分△acd的面积。
3．已知，都是正整数，试问关于的方程是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明．
解：假设方程有两个整数解为，由知，下证（1）
事实上，若，则，即，因a，b为正整数，所以ab＝1，2，3或4，易知不存在a，b的值满足。
2）不妨设。
则，即，所以有，因是正整数，故。
把代入原方程得， 即，也即。
所以，因a,b都是正整数，则解得：
由得。综上，存在正整数a＝1，b=3或a=3，b=1，使得。
方程有两个整数解为。
4、已知一次函数，二次函数，是否存在二次函数，其图象经过点（－5,2），且对于任意实数x的同一个值，这三个函数所对应的函数值，，都有成立？若存在，求出函数的解析式；若不存在，请说明理由。
解：存在满足条件的二次函数。
因为，所以，当自变量x取任意实数时，均成立。
由已知，二次函数的图象经过点（－5,2），得25 ①
当时，有，
由于对于自变量取任实数时，均成立，所以有2≤≤2，故 ②
由①，②得，，所以 ……5分。
当时，有，即。
所以，二次函数对于一切实数x，函数值大于或等于零，故。
即所以。当时，有，即，所以，二次函数对于一切实数x，函数值大于或等于零，故。
即所以。综上，
所以，存在二次函数，在实数范围内，对于x的同一个值，都有成立。
5、 已知为实数，且，若的最大值是，最小值是，求的值．
解】设，则由得5分。
于是，而≥，有≥，所以≤9． …10分这样，实数可以看作是一元二次方程的两个根． …15分。
判别式≥0，所以≥， 有1≤≤．
所以的最大值是，最小值20分。
6．函数的图象与轴的两个交点是否都在直线的右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线的右侧时k的取值范围．
解：不一定，例如，当k＝0时，函数的图象与x轴的交点为（0，0）和（1，0），不都在直线的右侧．5分。
设函数与x轴的两交点的横坐标为，则，当且仅当满足如下条件
10分。时，抛物线与轴的两交点都在直线的右侧．
由解之，得15分。
所以当时，抛物线与轴的两交点在直线的右侧． …20分。
7．设，，为互不相等的实数，且满足关系式。
求a的取值范围．
解法一：由①－2×②得，所以a>－1．
当a>－1时10分。
又当时，由①，②得。
将④两边平方，结合③得。
化简得，故，解得，或．
所以，a的取值范围为a>－1且15分。
解法二：因为，，所以。
所以． 又，所以，为一元二次方程⑤
的两个不相等实数根，故，所以a>－1．
当a>－1时10分。
另外，当时，由⑤式有 ，即或，解得，或．
当时，同理可得或．
所以，a的取值范围为a>－1且15分。
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