数学领域，函数是一种关系，这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素。
自变量，函数一个与他量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在他量中找到对应的固定值。
因变量(函数):随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量(函数)有且只有唯一一值与其相对应。
函数两组元素一一对应的规则，第一组中的每个元素在第二组中只有唯一的对应量。
函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。
‖函数的定义： 设x和y是两个变量，d是实数集的某个子集，若对于d中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作 y=f(x).
数集d称为函数的定义域，由函数对应法则或实际问题的要求来确定。相应的函数值的全体称为函数的值域，对应法则和定义域是函数的两个要素。
数学中的一种对应关系，是从非空集合a到实数集b的对应。简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数 。精确地说，设x是一个非空集合，y是非空数集 ，f是个对应法则 ， 若对x中的每个x，按对应法则f，使y中存在唯一的一个元素y与之对应 ， 就称对应法则f是x上的一个函数，记作y＝f（x），称x为函数f（x）的定义域，集合为其值域（值域是y的子集），x叫做自变量，y叫做因变量，习惯上也说y是x的函数。
若先定义映射的概念，可以简单定义函数为：定义在非空数集之间的映射称为函数。
例1：y＝sinx x＝［0，2π］，y＝［－1，1］ ，它给出了一个函数关系。当然 ，把y改为y1＝（a，b） ，a＜b为任意实数，仍然是一个函数关系。
其深度y与一岸边点 o到测量点的距离 x 之间的对应关系呈曲线，这代表一个函数，定义域为［0，b］。以上3示法：公式法 ，**法和图像法。
一般地，在一个变化过程中并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，y是x的函数。如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量。
复合函数 有3个变量，y是u的函数，y＝ψ（u），u是x的函数，u＝f（x），往往能形成链：y通过中间变量u构成了x的 x→u→y，这要看定义域：设域为u，当u*íu时，称f与ψ 构成一个复合函数 ， 例如 y＝lgsinx，x∈（0，π）此时sinx＞0 ，lgsinx有意义 。
但如若规定x∈（－0），此时sinx＜0 ，lgsinx无意义 ，就成不了复合函数。
反函数就关系而言，一般是双向的 ，函数也如此 ，设y＝f（x）为已知的函数，若对每个y∈y，有唯一的x∈x，使f（x）＝y，这是一个由y找x的过程 ，即x成了y的函数 ，记为x＝f -1（y）。称f -1为f的反函数。习惯上用x表示自变量 ，故这个函数仍记为y＝f -1（x） ，例如 y＝sinx与y＝arcsinx 互为反函数。
在同一坐标系中，y＝f（x）与y＝f -1（x）的图形关于直线y＝x对称。
多元函数。设点（x1，x2，…，xn） ∈gírn，uír1 ，若对每一点（x1，x2，…，xn）∈g，由某规则f有唯一的 u∈u与之对应：f：
g→u，u＝f（x1，x2，…，xn），则称f为一个n元函数，g为定义域，u为值域。
基本初等函数及其图像幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基本初等函数。
①幂函数：y＝xμ（μ0，μ为任意实数）定义域：μ为正整数时为（－∞为负整数时是 （－0）∪（0，＋∞为整数)，当α是奇数时为（ －当α是偶数时为（0，＋∞p／q,p,q互素，作为的复合函数进行讨论。
略图如图2、图3。
②指数函数：y＝ax（a＞0 ，a≠1），定义成为（ －值域为（0 ，＋a＞0 时是严格单调增加的函数（ 即当x2＞x1时，） 0＜a＜1 时是严格单减函数。对任何a，图像均过点（0，1），注意y＝ax和y＝（）x的图形关于y轴对称。
如图4。
③对数函数：y＝logax（a＞0）， 称a为底 ， 定义域为（0，＋∞值域为（－∞a＞1 时是严格单调增加的，0＜a＜1时是严格单减的。不论a为何值，对数函数的图形均过点（1，0），对数函数与指数函数互为反函数 。
如图5。
以10为底的对数称为常用对数 ，简记为lgx 。在科学技术中普遍使用的是以e为底的对数，即自然对数，记作lnx。
④三角函数：见表2。
正弦函数、余弦函数如图6，图7所示。
⑤反三角函数：见表3。双曲正、余弦如图8。
⑥双曲函数：双曲正弦（ex－e-x），双曲余弦 （ex＋e-x），双曲正切（ex－e-x）／（ex＋e-x） ，双曲余切（ ex＋e-x）／（ex－e-x）。
]补充。在数学领域，函数是一种关系，这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素（这只是一元函数f（x）＝y的情况，请按英文原文把普遍定义给出，谢谢）。函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。
术语函数，映射，对应，变换通常都是同一个意思。
二次函数。一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。iai还可以决定开口大小，iai越大开口就越小，iai越小开口就越大。） 则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。x是自变量，y是x的函数。
二次函数的三种表达式。
一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点p（h，k）] 对于二次函数y=ax^2+bx+c 其顶点坐标为 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)交点式：
y=a(x-x)(x-x ) 仅限于与x轴有交点a（x ，0）和 b（x，0）的抛物线]其中x1，2= -b±√b^2－4ac
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系： h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x,x=(-b±√b^2-4ac)/2a
二次函数的图像。
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
抛物线的性质。
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点p。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点p，坐标为p ( b/2a ，(4ac-b^2)/4a )
当-b/2a=0时，p在y轴上；当δ= b^2-4ac=0时，p在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
6.抛物线与x轴交点个数。
δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。x的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）
当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在上是减函数，在上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是相反不变。
当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)
二次函数与一元二次方程。
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax^2+bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
解析式 y=ax^2
y=a(x-h)^2
y=a(x-h)^2+k
y=ax^2+bx+c 顶点坐标
(h，0)
(h，k)
(-b/2a，sqrt[4ac-b^2]/4a)
对称轴 x=0
x=h x=h
x=-b/2a
当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象；
当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．
2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．
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