二次函数。
二次函数给大家的印象可能觉得要点较多，而且较乱，没有条理。实际要点仅包含，(1)四点（顶点、x轴两交点、与y轴交点）、(2)一线：对称轴、(3)a、b、c三个参数的含义、(4)增减性(5)解析式五个方面，其余只不过是以上几点些变形而已。
二次函数是初中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中．要求：
1、 能通过对实际问题情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；
2、 会用描点法画二次函数图像，能丛图像上分析二次函数的性质；
3、 会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴，并能解决实际问题．会求一元二次方程的近似值．
1. 定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数。注意：a≠0，自变量x取值范围是全体实数，最高次数是2.
例1：下列函数中一定是二次函数的是（ ）
ab．y＝ax2＋bx＋c
dc．y＝（x＋1）（x－1）
例2：若是二次函数，则m＝__
例3：当m取何值时，函数y=(m2-1)x2+(m-3)x+5m+2是一次函数？当m取何值时，次函数是二次函数？
2、抛物线，顶点（-，对称轴x=-；
3、抛物线中，的作用。
（1）决定开口方向及开口大小。
当时，开口向上，x=-时，y取最小值。x>-,y随x增大而增大，x<-,y随x增大而减小；
时，开口向下，x=-，y取最大值；x>-,y随x增大而减小，x<-,y随x增大而增大；
越大，开口越小。如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同。
例4：点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线y＝－x2上，当x1＞x2＞0时，y1与y2的大小关系为：
a．y1＞y2 b．y1＝y2 c．y1＜y2 d．不能确定。
例5：若二次函数的图象有最低点，则m的值为___
（2）和共同决定抛物线对称轴的位置。可表示为， 顶点 （h, k ）
y=a(x+）2+，顶点（-，
时，对称轴为轴；
、同号，对称轴在轴左侧；、异号，对称轴在轴右侧；（左同右异）；
如y=(x+1)2+5, 对称轴为x=-1 , 如y=(x-1)2+5, 对称轴为x= 1
（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置。
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）.c>0交与y轴正半轴，c<0交与y轴负半轴。
例6：如图是在同一直角坐标系内二次函数y＝ax2＋（a＋c）x＋c与一次函数y＝ax＋c的大致图象，其中有且只有一个是正确的，正确的是（ ）
4.求二次函数的解析式。
（1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式。
（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.（注意：
本公式由韦达定理推导而出，有两个交点坐标后再找一个在函数图象上的点即可得出二次函数解析式。但函数与x轴没有交点则不能使用该方法。）
例7：二次函数的图像经过原点及点（-，且图像与x轴的另一交点到原点距离为1，求该二次函数的解析式。
例8：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列8个结论正确的是：①abc>0；②b0；④ 2c<3b； ⑸a+b>m(am+b) (a≠1的实数)； 2a+b=0；⑺ b2-4ac-<0； ⑻a+c)2>b2．其中正确结论的个数是（）
例9：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且p=|a-b+c|+|2a+b|，q=|a+b+c|+|2a-b|，则p、q的大小关系为p（）q
5.直线与抛物线的交点。
1）抛物线与轴的交点。
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根。抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离。
（2）平行于轴的直线与抛物线的交点。
可能有0个交点、1个交点、2个交点。当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根。
（3）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点； ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点。
（4）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故。
6、二次函数的平移。
首先转换为的形式，其对称轴为x=h 。
1）向x负半轴平移m单位，；
向x正半轴平移m单位，；
2）向y负半轴平移m单位，；
向y正半轴平移m单位，
7、二次函数图像的画法---五点法。
1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点m，并用虚线画出对称轴。
2）求抛物线与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点a,b及抛物线与y轴的交点c，再找到点c的对称点d。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点c及对称点d。由c、m、d三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点a、b，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
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