二次函数知识点归纳及相关典型题。
第一部分基础知识。
1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数。
2.二次函数的性质。
1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴。
2）函数的图像与的符号关系。
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；
当时抛物线开口向下顶点为其最高点。
3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为。
3.二次函数的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线。
4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中。
5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式。
6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。
①的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；
相等，抛物线的开口大小、形状相同。
②平行于轴（或重合）的直线记作。特别地，轴记作直线。
7.顶点决定抛物线的位置。几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同。
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法。
（1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线。
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)对称轴是直线。
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点。
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失。
9.抛物线中，的作用。
（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样。
（2）和共同决定抛物线对称轴的位置。由于抛物线的对称轴是直线。
故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧。
（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置。
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：
①，抛物线经过原点； ②与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴。
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立。如抛物线的对称轴在轴右侧，则。
10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
11.用待定系数法求二次函数的解析式。
（1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式。
（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.
12.直线与抛物线的交点。
（1）轴与抛物线得交点为(0,).
（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,)
（3）抛物线与轴的交点。
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根。抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离。
（4）平行于轴的直线与抛物线的交点。
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点。当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根。
（5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点； ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点。
（6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故。
第二部分典型习题。
.抛物线y＝x2＋2x－2的顶点坐标是 （ d ）
a.（2，－2） b.（1，－2） c.（1，－3） d.（－1，－3）
.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ c ）
．ab＞0，c＞0 ｂ．ab＞0，c＜0 ｃ．ab＜0，c＞0 ｄ．ab＜0，c＜0
第２,３题图第4题图。
.二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ｄ
a．a＞0，b＜0，c＞0 b．a＜0，b＜0，c＞0
c．a＜0，b＞0，c＜0 d．a＜0，b＞0，c＞0
.如图，已知中，bc=8，bc上的高，d为bc上一点，，交ab于点e，交ac于点f（ef不过a、b），设e到bc的距离为，则的面积关于的函数的图象大致为（ ｄ
.抛物线与x轴分别交于a、b两点，则ab的长为 4 ．
6.已知二次函数与x轴交点的横坐标为、（）则对于下列结论：①当x＝－2时，y＝1；②当时，y＞0；③方程有两个不相等的实数根、；④其中所有正确的结论是 ①③只需填写序号）．
7.已知直线与x轴交于点a，与y轴交于点b；一抛物线的解析式为。
1）若该抛物线过点b，且它的顶点p在直线上，试确定这条抛物线的解析式；
2）过点b作直线bc⊥ab交x轴交于点c，若抛物线的对称轴恰好过c点，试确定直线的解析式。
解：（1）或。
将代入，得。顶点坐标为，由题意得，解得。
8.有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为，且是x的二次函数，已知输入值为，0,时， 相应的输出值分别为5, ,
1）求此二次函数的解析式；
2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象，并根据图象写出当输出值为正数时输入值的取值范围。
解：（1）设所求二次函数的解析式为，则，即，解得。
故所求的解析式为：.
2)函数图象如图所示。
由图象可得，当输出值为正数时，输入值的取值范围是或．
9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答：
第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的？它的体温从最低上升到最高需要多少时间？
第三天12时这头骆驼的体温是多少？
兴趣小组又在研究中发现，图中10时到。
22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解。
析式．解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的。
体温是上升的
它的体温从最低上升到最高需要12小时。
第三天12时这头骆驼的体温是39℃
10.已知抛物线与x轴交于a、
b两点，与y轴交于点c．是否存在实数a，使得。
abc为直角三角形．若存在，请求出a的值；若不。
存在，请说明理由．
解：依题意，得点c的坐标为（0，4）．
设点a、b的坐标分别为（，0），（0），由，解得 ，．
∴ 点a、b的坐标分别为（-3，0），（0）．
〈ⅰ〉当时，∠acb＝90°．
由，得．解得 ．
∴ 当时，点b的坐标为（，0），，
于是．∴ 当时，△abc为直角三角形．
〈ⅱ〉当时，∠abc＝90°．
由，得．解得 ．
当时，，点b（-3，0）与点a重合，不合题意．
〈ⅲ〉当时，∠bac＝90°．
由，得．解得 ．不合题意．
综合当时，△abc为直角三角形．
11.已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2.
1）若抛物线与x轴的两个交点a、b分别在原点的两侧，并且ab＝，试求m的值；
2）设c为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点m、n，并且 △mnc的面积等于27，试求m的值。
解： (1)ａ（x1，0）,b(x2，0) .则x1 ，x2是方程 x2－mx＋m－2＝0的两根。
x1 ＋ x2 ＝m , x1·x2 =m－2 ＜0 即m＜2 ;
又ab＝∣x1 — x2∣＝
m2－4m＋3=0 .
解得：m=1或m=3(舍去) ,m的值为1 .
2）m(a，b)，则n(－a，－b) .
∵m、n是抛物线上的两点，
＋②得：－2a2－2m＋4＝0 . a2＝－m＋2 .
当m＜2时，才存在满足条件中的两点m、n.
这时m、n到y轴的距离均为，
又点c坐标为（0，2－m）,而s△m n c = 27 ,2××（2－m）×=27 .
解得m=－7 .
12.已知：抛物线与x轴的一个交点为a（－1，0）．
（1）求抛物线与x轴的另一个交点b的坐标；
（2）d是抛物线与y轴的交点，c是抛物线上的一点，且以ab为一底的梯形abcd的面积为9，求此抛物线的解析式；
（3）e是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点，如果点e在（2）中的抛物线上，且它与点a在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点p，使△ape的周长最小？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由．
解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为x＝－2．
∵ 抛物线与x轴的一个交点为a（－1，0），∴由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点b的坐标为（－3，0）．
2）∵ 抛物线与x轴的一个交点为a（－1， 0），t＝3a．∴
∴ d（0，3a）．∴梯形abcd中，ab∥cd，且点c在抛物线上，∵ c（－4，3a）．∴ab＝2，cd＝4．
∵ 梯形abcd的面积为9，∴
∴ a±1．
∴ 所求抛物线的解析式为或．
（3）设点e坐标为（，）依题意，且．∴
①设点e在抛物线上，
解方程组得。
∵ 点e与点a在对称轴x＝－2的同侧，∴ 点e坐标为（，）
设在抛物线的对称轴x＝－2上存在一点p，使△ape的周长最小．
∵ ae长为定值，∴ 要使△ape的周长最小，只须pa＋pe最小．
∴ 点a关于对称轴x＝－2的对称点是b（－3，0），∴由几何知识可知，p是直线be与对称轴x＝－2的交点．
初三数学二次函数知识点
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