高中数学知识梳理总汇及复习。
第一部分集合与函数。
1、在集合运算中一定要分清代表元的含义。
举例1]已知集，求。
2、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
举例]若且，求的取值范围。
3、充要条件的判定可利用集合包含思想判定：若，则a是b的充分条件；若，则a是b的必要条件；若且即，则a是b的充要条件。有时利用“原命题”与“逆否命题”等价，“逆命题”与“否命题”等价转换去判定也很方便。
充要条件的问题要十分细心地去辨析：“哪个命题”是“哪个命题”的充分（必要）条件；注意区分：“甲是乙的充分条件（甲乙）”与“甲的充分条件是乙（乙甲）”，是两种不同形式的问题。
举例］设有集合，则点的＿＿＿条件是点；点是点的＿＿＿条件。
4、掌握命题的四种不同表达形式，会进行命题之间的转化，会正确找出命题的条件与结论。能根据条件与结论判断出命题的真假。
举例］命题：“若两个实数的积是有理数，则此两实数都是有理数”的否命题是它是＿＿＿填真或假）命题。
5、若函数的图像关于直线对称，则有或等，反之亦然。注意：两个不同函数图像之间的对称问题不同于函数自身的对称问题。
函数的图像关于直线的对称曲线是函数的图像，函数的图像关于点的对称曲线是函数的图像。
举例1]若函数是偶函数，则的图像关于＿＿＿对称。
[举例2]若函数满足对于任意的有，且当时，则当时＿＿＿
6、若函数满足：则是以为周期的函数。注意：不要和对称性相混淆。若函数满足：则是以为周期的函数。（注意：若函数满足，则也是周期函数）
举例］已知函数满足：对于任意的有成立，且当时，，则＿＿＿
7、奇函数对定义域内的任意满足；偶函数对定义域内的任意满足。注意：使用函数奇偶性的定**题时，得到的是关于变量的恒等式而不是方程。
奇函数的图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称；若函数是奇函数或偶函数，则此函数的定义域必关于原点对称；反之，若一函数的定义域不关于原点对称，则该函数既非奇函数也非偶函数。若是奇函数且存在，则；反之不然。
举例1］若函数是奇函数，则实数＿＿＿
[举例2]若函数是定义在区间上的偶函数，则此函数的值域是。
8、奇函数在关于原点对称的区间内增减性一致，偶函数在关于原点对称的区间内增减性相反。若函数的图像关于直线对称，则它在对称轴的两侧的增减性相反；此时函数值的大小取决于变量离对称轴的远近。解“抽象不等式（即函数不等式）”多用函数的单调性，但必须注意定义域。
举例］若函数是定义在区间上的偶函数，且在上单调递增，若实数满足：，求的取值范围。
9、要掌握函数图像几种变换：对称变换、翻折变换、平移变换。会根据函数的图像，作出函数的图像。（注意：图像变换的本质在于变量对应关系的变换）；要特别关注的图像。
举例］函数的单调递增区间为。
10、研究方程根的个数、超越方程（不等式）的解（特别是含有参量的）、二次方程根的分布、二次函数的值域、三角函数的性质（包括值域）、含有绝对值的函数及分段函数的性质（包括值域）等问题常利用函数图像来解决。但必须注意的是作出的图形要尽可能准确：即找准特殊的点（函数图像与坐标轴的交点、拐点、极值点等）、递增递减的区间、最值等。
举例1］已知函数，若不等式的解集不为空集，则实数的取值范围是。
[举例2]若曲线与直线没有公共点，则应当满足的条件是 .
11、曲线可以作为函数图像的充要条件是：曲线与任何平行于y轴的直线至多只有一个交点。
一个函数存在反函数的充要条件是：定义域与值域中元素须一一对应，反应在图像上平行于轴的直线与图像至多有一个交点。单调函数必存在反函数吗？
（是的，并且任何函数在它的每一个单调区间内总有反函数）.还应注意的是：有反函数的函数不一定是单调函数，你能举例吗？
举例］函数，（）若此函数存在反函数，则实数的取值范围是。
12、求一个函数的反函数必须标明反函数的定义域，反函数的定义域不能单从反函数的表达式上求解，而是求原函数的值域。求反函数的表达式的过程就是解（关于的）方程的过程。注意：
函数的反函数是唯一的，尤其在开平方过程中一定要注意正负号的确定。
举例］函数的反函数为。
13、原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；原函数与反函数的图像关于直线对称；若函数的定义域为a，值域为c，,则有。需要特别注意一些复合函数的反函数问题。如反函数不是。
举例1］已知函数的反函数是，则函数的反函数的表达式是。
[举例2]已知，若，则＿＿＿
14、判断函数的单调性可用有关单调性的性质（如复合函数的单调性），但证明函数单调性只能用定义，不能用关于单调性的任何性质，用定义证明函数单调性的关键步骤往往是因式分解。记住并会证明：函数的单调性。
[举例]函数在上是单调增函数，求实数的取值范围。
15、一元二次函数是最基本的初等函数，要熟练掌握一元二次函数的有关性质。一元二次函数在闭区间上一定存在最大值与最小值，应会结合二次函数的图像求最值。
举例］求函数在区间的最值。
16、一元二次函数、一元二次不等式、一元二次方程是不可分割的三个知识点。解一元二次不等式是“利用一元二次方程的根、结合一元二次函数的图像、写出一元二次不等式的解集”，可以将一元二次不等式的问题化归为一元二次方程来求解。特别对于含参一元二次不等式的讨论比较方便。
还应当注意的是；不等式解集区间的端点值是对应方程的根（或增根）.
举例1]已知关于的不等式的解集是，则实数的值为 .
举例2］解关于的不等式：.
第二部分不等式。
17、基本不等式要记住等号成立的条件与的取值范围。“一正、二定、三相等”，“积定和有最小值、和定积有最大值”，利用基本不等式求最值时要考虑到等号是否成立。与函数相关的应用题多有基本不等式的应用。
举例］已知正数满足，则的最小值为＿＿＿
18、学会运用基本不等式：.
举例1］若关于的不等式的解集是r，则实数的取值范围是＿＿；
[举例2]若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是＿.
19、解分式不等式不能轻易去分母，通常采用：移项（化一边为零）→通分→转化为整式不等式→化所有因式中的变量系数为正，（即不等式两边同除以变量系数，若它的符号不能确定即需要讨论）→“序轴标根”（注意比较各个根的大小，不能比较时即需要讨论）；解绝对值不等式的关键是“去绝对值”，通常有①利用绝对值不等式的性质②平方③讨论。特别注意：
求一个变量的范围时，若分段讨论的也是这个变量，结果要“归并”.
举例］解关于的不等式：.
20、求最值的常用方法：①用基本不等式（注意条件：一正、二定、三相等）；②方程有解法③单调性；④换元法；一般而言：
在用基本不等式求最值因“不相等”而受阻时，常用函数的单调性；求二次函数（自变量受限制）的值域，先配方、再利用图像、单调性等；求分式函数的值域（自变量没有限制）常用“逆求”（即判别式法）；求分式函数的值域（自变量受限制）通常分子、分母同除一个式子，变分子（分母）为常数。
举例1］已知函数的最大值不大于，又当时，，求实数的值。
[举例2]求函数在区间上的最大值与最小值。
21、遇到含参不等式（或含参方程）求其中某个参数的取值范围通常采用分离参数法，转化为求某函数的最大值（或最小值）；但是若该参数分离不出来（或很难分离），那么也可以整体研究函数的最值。特别注意：双变量问题在求解过程中应把已知范围的变量作为主变量，另一个作为参数。
举例］已知不等式对于）恒成立，求实数的取值范围。
第三部分三角函数。
22、若，则；角的终边越“靠近”轴时，角的正弦、正切的绝对值就较大，角的终边“靠近”轴时，角的余弦、余切的绝对值就较大。
举例1］已知，若，则的取值范围是＿＿＿
举例2］方程的解的个数为＿＿＿个。
23、求某个角或比较两角的大小：通常是求该角的某个三角函数值（或比较两个角的三角函数值的大小），然后再定区间、求角（或根据三角函数的单调性比较出两个角的大小）.比如：
由未必有；由同样未必有；两个角的三角函数值相等，这两个角未必相等，如；则；或；若，则；若，则。
举例1］已知都是第一象限的角，则“”是“”的――（
a、充分不必要条件；b、必要不充分条件；c、充要条件；d、既不充分又不必要条件。
举例2］已知，则“”是“”的―――
a、充分不必要条件；b、必要不充分条件；c、充要条件；d、既不充分又不必要条件。
24、已知一个角的某一三角函数值求其它三角函数值或角的大小，一定要根据角的范围来确定；能熟练掌握由的值求的值的操作程序；给（一个角的三角函数）值求（另一个三角函数）值的问题，一般要用“给值”的角表示“求值”的角，再用两角和（差）的三角公式求得。
举例1］已知是第二象限的角，且，利用表示＿＿＿
举例2］已知，求的值。
25、欲求三角函数的周期、最值、单调区间等，应注意运用二倍角正（余）弦公式，半角公式降次即：；引入辅助角（特别注意，经常弄错）使用两角和、差的正弦、余弦公式（合二为一），将所给的三角函数式化为的形式。函数的周期是函数周期的一半。
举例］函数的最小正周期为＿＿＿最大值为＿＿；单调递增区间为＿＿＿在区间上，方程的解集为＿
26、当自变量的取值受限制时，求函数的值域，应先确定的取值范围，再利用三角函数的图像或单调性来确定的取值范围，并注意a的正负；千万不能把取值范围的两端点代入表达式求得。
举例］已知函数，求的最大值与最小值。
27、三角形中边角运算时通常利用正弦定理、余弦定理转化为角（或边）处理。有关的齐次式（等式或不等式），可以直接用正弦定理转化为三角式；当知道△abc三边平方的和差关系，常联想到余弦定理解题；正弦定理应记为（其中r是△abc外接圆半径。
举例］在△abc中，分别是对边的长。已知成等比数列，且，求的大小及的值。
28、在△abc中：；，等常用的结论须记住。三角形三内角a、b、c成等差数列，当且仅当。
举例1］在△abc中，若，则△abc的形状一定是―――
a、等腰直角三角形； b、直角三角形； c、等腰三角形； d、等边三角形。
29、这三者之间的关系虽然没有列入同角三角比的基本关系式，但是它们在求值过程中经常会用到，要能熟练地掌握它们之间的关系式：.求值时能根据角的范围进行正确的取舍。
举例1］关于的方程有实数根，求实数的取值范围。
举例2］已知且，则＿＿＿
30、正（余）弦函数图像的对称轴是平行于轴且过函数图像的最高点或最低点，两相邻对称轴之间的距离是半个周期；正（余）弦函数图像的对称中心是图像与“平衡轴”的交点，两相邻对称中心之间的距离也是半个周期。
初中数学知识点总结
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初中数学大纲与初中数学知识点总结 最详尽版
初中数学大纲。一 考试指导思想。初中毕业数学学业考试是依据 全日制义务教育数学课程标准 实验稿 以下简称 数学课程标准 进行的义务教育阶段数学学科的终结性考试。考试要有利于全面贯彻国家教育方针，推进素质教育 有利于体现九年义务教育的性质，全面提高教育质量 有利于数学课程改革，培养学生的创新精神和实践...
数学知识点初一上
初一数学知识点。第一章有理数。1正数 为了表示具有相反意义的量，我们把一种意义的量规定为正，用过去学过的数 零除外 如123,15等来表示，这样的数就叫做正数。负数 把另一种与之意义相反的量规定为负，用过去学过的数 零除外 前面放上负号 来表示，如 233，60，0.5等。零既不是负数，也不是正数。...
2019年人教版高中数学知识点总结
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初中数学知识点 二次函数
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