数学教学论作业

数学教学论。

**一。数学教学论》

关于高中选修3-4与4-2学习心得。

选修3-4《对称与群》

数学美是一种人类本质力量通过宜人的数学思维的呈现，是数学真理的一种表现。数学中的许多重大发现或突破得益于数学中的美学方法。例如：

对数的发现、解析几何的创立等，人类对数学美得追求，推动了数学的发展。数学美的表现常具有统。

一、简洁、对称及奇异等重要特征，这些特征渗透在数学的理论、数学的语言、数学的定理公式、数学方法技巧及数学的实际应用之中。

对称性是数学美得重要特征。不仅如此，在艺术的各种要素中，对称性是一个非常重要的要素。解题是一门艺术，因此**对称性在解题中的作用非常必要。

对称性是指组成某一事物成对的两个部分的对等性。数学中，有关书与形的对称现象极为常见，这种对称有的是形象的，有的则是抽象的观念和方法上的对称。对称的形和式从形式上看十分优美，数学解题方法中常渗透对称思想。

许多问题初看起来似乎不易解决，难以下手，但一旦恰当的利用了某种对称性就会易如反掌。

对称现象广泛存在于自然界和人类的社会生活中，为人类所熟知。群的定义很抽象，不容易接受。本专题就是通过对几何图形的对称性的研究，逐渐引入群的概念，使学生对群论这样一个重要的数学分支，有初步的认识。

本专题共分为四章，以平面图形的对称性为主，引入等距变换的概念，逐步渗透，过渡到平面图形的对称变换群，从具体到抽象，符合学生的认知规律；再由具体的对称变换群引出置换群与抽象群，明确提出群的概念，让学生的理解力、抽象思维能力达到一个新的台阶。第四章群论的神奇应用，从抽象概念回到实际生活中，让学生充分体会到数学的应用价值。

初看这一选修课本觉得标题新颖，单讲对称无非是轴对称与中心对称，可是群对于还是相当的不熟悉。课本在讲述了对称变换后巧妙的过渡到了群的知识上来了，给出了对称群、循环群、二面体群以及n元对称群等知识。在第二讲代数学中的对称与抽象群的概念中，又引入了置换，例如正方形的对称变换，也可以用数字1,2,3,4的相应置换来表示：

置换这种表示不仅仅是一种符号，实际上定义了集合到自身的一个一一对应。这n个数的每一个置换都确定了集合到自身的一一对应。关于多项式的对称变换，恰好证明了不仅平面图形有对称性，多项式也有对称性，多项式中的字母的替换就是集合到自身的一一对应。

关与群的一般概念相对于前面的知识更抽象，在这一块的知识很好的说明了初高中的知识不在是简单的公式计算证明，已经在很好的融入大学里理性抽象思维了，关于群的例子是大量存在的，例如，正有理数集连同正有理数的乘法构成一个群，记作，可以验证满足群的四个条件即二元运算，单位元，逆元，以及结合律。第三讲的内容对称与群的故事是可以很好的激发学生学习兴趣的，兴趣是学生学习的最好动力，通过这一讲的内容我们不仅可以了解到“群”这个词是在1831 年由天才的法国数学家伽罗瓦提出来的，还可以知道对称群在化学领域的应用。

从“对称”到对称群，再到群，从而得到一个精确的，具有普遍适用性的数学概念，这是一个在错综复杂的现象中寻求共同结构的过程，也是一个对事物不断认识不断深化的过程。虽然群是以高度抽象的形式给出的，或许“它”已不像最初的“对称”那么形象直观、生动活泼而富有吸引力，但因为它从事物的结构特征刻画了其本质，因此它的功能非常强大，它不仅是数学中的一根核心概念，而且在物理、化学及艺术、建筑等领域都有广泛的应用。

选修4-2矩阵与变换。

矩阵是研究图形（向量）变换的基本工具，有着广泛的应用，许多数学模型都可以用矩阵来表示。本专题将通过平面图形的变换讨论二阶方阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念，并以变换的观点理解解线性方程组的意义，初步展示矩阵应用的广泛性。

本专题的主干内容分为四讲：第一讲线性变换与二阶矩阵；第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法；第三讲逆变换与逆矩阵；第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量。另外还有引言、一个“**与发现”和一个学习总结报告。

1）在引言中，首先回顾学生熟悉的平面图形的轴对称变换；然后用映射的语言重新叙述之；接着在平面直角坐标系中进一步进行研究，得到这个变换的坐标变换公式，它可以由一个二阶矩阵完全确定，由此激发学生的学习欲望；并给出本专题中研究问题的基本思想——类比解析几何中对曲线与方程的讨论，对二阶矩阵与某些几何变换进行类似的研究；最后明确本专题的主要内容。

2）在直角坐标系中，平面上的点与有序实数对是一一对应的。这样，可以用代数方法表示几何变换，进而就可以从代数的角度研究几何变换。在第一讲中，首先通过两个特殊的旋转变换引入线性变换的概念，并通过线性变换引入二阶矩阵；接着介绍一般的旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换和切变变换等几类重要的线性变换，熟悉它们对应的二阶矩阵，并通过这些具体的线性变换及其二阶矩阵，体验在直角坐标系中线性变换与二阶矩阵之间的一一对应关系；并进一步建立线性变换与二阶矩阵的联系，用二阶矩阵和向量的乘积表示线性变换；以二阶矩阵为工具研究线性变换的基本性质——二阶矩阵对应的线性变换把平面上的直线变成直线（或一点）；并利用线性变换的基本性质研究一些重要线性变换对单位正方形区域的作用，进一步加深对线性变换及其基本性质理解。

3）在第二讲中，通过实例考察在直角坐标系内连续施行两次线性变换的作用效果是否能用一个线性变换表示，引入线性变换的复合，介绍二阶矩阵的一种重要运算——矩阵的乘法，并通过应用进一步理解矩阵的乘法；类比实数乘法的运算律，研究二阶矩阵乘法的运算律，证明矩阵的乘法满足结合律，通过学生熟悉的某些二阶矩阵所对应的线性变换对单位正方形区域的作用结果，得到矩阵的乘法不满**换律和分配律。

4）在第三讲中，类比实数的乘法运算中的一条重要性质：“如果，则”，分别把恒等变换i和单位矩阵e2作为数1类比对象，通过线性变换引进逆矩阵，并通过线性变换和生活中的常识理解逆矩阵的性质；引进二阶行列式，利用它研究逆矩阵，解决如何判断二阶矩阵是否可逆以及如何求可逆矩阵的逆矩阵的问题；本讲还从线性变换的角度来认识解二元一次方程组的意义，并利用逆矩阵求解系数矩阵可逆的二元一次方程组。

5）在第四讲中，通过研究两个熟知的重要线性变换的“不变”直线和“不变”向量，引入线性变换的一种重要的不变量——矩阵的特征向量；并从这两个线性变换出发，讨论特征向量的性质；给出特征值、特征向量的计算方法；利用特征向量的性质，解决一类实际问题（人口迁移问题）。

在该选修内容的专题中一直渗透着函数一一映射的思想，以下简单的举几个例子：

a）在本专题中介绍了一种反映变换的代数形式——二阶矩阵，二阶矩阵作用在一个向量上可以得到一个新的向量。这里矩阵就是映射，例如，

可以看出，二阶矩阵把平面上的每一个点都变成唯一的点。

b）在上例的基础上，我们一方面可以用矩阵来刻画几个熟悉的几何变换，另一方面还可以了解矩阵变换也有几何意义。例如，就表示向量在y轴上的投影；

就表示向量关于y轴对称。

c）我们还可以了解到，变换也可以复合，比如对于一个点的变换，我们可以先旋转再平移，也可以先平移在旋转，并且这两种变换的复合结果是不一样的。对应这种变换的复合也可以用矩阵的乘法运算很好的表示。例如，就表示向量先在y轴上投影，在关于y轴对称。

d）大部分的变换都有逆变换，这种变换就是对于矩阵的逆矩阵。例如，的逆变换就是再作一次关于y轴的对称，用矩阵表示即为：

可以看出，这时两个逆变换，和它本身为互逆矩阵。

变换的逆和矩阵的逆本质上体现了一一对应的思想。

e）在那本专题中还讨论了用变换的思想来认识二元一次方程组。例如，方程组，就可以用矩阵表示出来：

以上即是函数一一映射思想渗透在本专题的简单举例。

本专题与我们大学学习的《高等代数》中讲解矩阵的区别就在于，大学把矩阵作为一个代数对象。而本专题里把矩阵作为几盒变换的一种表示，着重突出矩阵的几何意义，矩阵的运算的几何意义，矩阵的逆的几何意义，矩阵的特征值、特征向量的几何意义。为进一步从代数的角度认识矩阵提供了一个直观的、生动的、具体的模型。

通过对选修3-4和4-2的学习，了解到新的知识在不断的渗透在初高中的学习里，初高中的知识与大学的知识衔接越来越紧密，面对不断改革的教学内容，我们要学习的还有很多很多，只有不断的充实自己才能充满自信的走向那个圣神的讲台，做一名优秀的人民教师。

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