习题 2—1 （a）
1. 单项选择题。
1） c解：
2） a解：
所以在x=1处不连续。
3） c解：函数在x=0处可导，则函数在x=0处连续。
当b=0时，保证在x=0处连续；
又∵；为保证在x=0处可导，a=b。
2. 填空题。
析：析： 析：
析： 析：∵
析：析： 3. 用导数定义证明下列等式成立。
证明：证明：
证明： 4. 求下列函数的导数。
解：解： 解：
解：解： 5. 计算题。
1） 解：，可知，在处的切线及法线斜率分别为。
切线方程为。
即；法线方程为。
即。2） 解：
可知，在处的切线及法线斜率分别为。
切线方程为
即；法线方程为
即。3） 解：若平行于直线。
则设点为（）
即，∴ 要求的点为（1，1）或（-1，-1）4） 解：由可知，
5） 解：由可知，
又。6） 解：
（7）解： 6. 解：
在处连续；又∵
即不存在，y在x=0处不可导。
2）由y表达式可知，
函数在x=0处连续，又∵
函数在x=0处可导。
在x=0处连续；
又∵；在x=0处不可导。
4），在x=0处连续；
又∵在x=0处不可导。
7. 证明题。
1） 证明：∵
令t=-x，则。
2） 证明：导函数存在，为奇函数时。
即为偶函数；
为偶函数时。
即为奇函数；
证毕。（3）证明：即要证当时，
设为定义域中的任意一元素，由的任意性知，结论成立。
习题 2—1 （b）
解：在处的线密度即为质量对长度的函数的导函数在处的值，9.
证明：在x=0处可导。
原式=证毕。
解：由7（3）中证明知，
又等价于。即为所求的切线斜率。法线斜率。
解：可去间断点。
为奇函数，；
又∵在x=0处可导。
即函数在x=0处存在极限，显然在x=0处无定义，x=0为的可去间断点。
解：解： 令，得。原式=
解：解：连续性，要连续，则b+a+2=0 ①
可导性，要可导，则 a=b ②
由①②两式得 a=b=-1
解：，又∵有界， m为常数。
解：由可以看出。
令t=x-1，则x→1等效于t →0
解：令。则。又令。
证明：充分性。
可导，则存在。
当时。存在。
即在x=0处可导。
必要性。又。
所以，要存在，则。
综上，得证。
习题 2—2 （a）
1. 单项选择题。
1） b析：，
2） b析：，
3） b析：
2. 将适当的函数填入下列括号内。
9）微分的几何意义：对应曲线的切线上点的纵坐标的相应增量。
10）高阶。
3. 计算题。
解： （1），
在x=2处。
时，，；时，，；时，，
在处。时，；时，
4. 计算下列各题。
解： （1）；；
则， （2）令； ；
3）令； ；
则。4）球的体积。
由已知。即。
测球半径时，所允许产生的相对误差是0.33%
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