综合练习一参***。
一、单项选择题。
1、b 2、c 3、c 4、a 5、b 6、c 7、d
二、填空题。
三、计算题。
1、求定积分。
解 2、求定积分。
解。3、设求。
解因为。4、设是可微函数，求。
解因为。所以
5、设是由方程所确定的隐函数，求。解设。故。
6、计算，其中是由所围成的闭区域。
解 四、解答题。
1、判定级数的敛散性。
解因为 ，所以级数绝对收敛。
2、求曲线与直线所围成的图形面积，并求此图形绕轴旋转所得旋转体的体积。
解曲线与直线的交点为面积。
旋转体体积。
3、将展开成的级数，并指出收敛域。
解 即由，故收敛域为。
4、求微分方程的通解。
解方程化为，这是一个一阶线性微分方程，由公式得。
5、求微分方程在初始条件下的特解。
解由特征方程，解得 ，所以方程的通解为。
由初始条件，得，解得 ，故所求特解为。
五、 设工厂生产和两种产品，主量分别为和(单位：千件)。利润函数为。
(单位：万元)
已知生产这两种产品时，每千件产品均需消耗某种原料2000公斤， 现有该原料12000公斤，问两种产品各生产多少千件时，总利润最大？
解：这是一个在约束条件下，求的极大值的一个条件极值。
作拉格朗日函数，，由，解得。 驻点唯一，实际问题有最优解，所以两种产品各生产和件时，利润最大。
六、 设连续，且，试证：。
证明 ：令则，得，两边对求导得，由此得。
令得 ，即。
综合练习二参***。
一、单项选择题。
1、a 2、c 3、b 4、d 5、a 6、b 7、b
二、填空题。
1）（2）（3）（4）发散（5）
三、计算题
1、计算。解。
解 3、设，求
解。4、设是可微函数，求。
解 5、设是由方程确定的隐函数，求。解设。故
6、计算，其中由所围成的闭区域。
解 ，于是。
四、解答题。
1、判别级数的敛散性。
解 ，而正项级数收敛，
故收敛 ，因此原级数绝对收敛。
2、求由曲线和直线抽围成的图形的面积，并求此图形轴旋转所得旋转体的体积。
解面积。旋转体体积
3、求幂级数的收敛域以及和函数。
解 ，所以收敛半径为，当时，，级数发散，当时，级数收敛，因此收敛域为。
设 ，则，所以。
4、求微分方程的通解。
解方程化为，这是一个一阶线性微分方程，由公式得。
5、求微分方程在初始条件下的特解。
解由特征方程，解得 ，所以方程的通解为。
由初始条件，得，因此特解为。
五、应用题。
1、某工厂生产一种产品同时在两个市场销售，销售量分别为和，售价分别为和，需求函数分别为和，总成本函数为。问厂家如何确定两个市场的售价，使其获得的总利润最大。
解：由和得
收益函数为。
利润函数为。
由解得唯一驻点
实际问题有最优解，所以两个市场的销售量分别为件和件时，利润最大。这时的**分别。
为和。 2、用钢板做一个容量为32立方米的长方体形无盖水箱，问长、宽、高各为多少时，所用的材料最省？
解法1：设水箱的长、宽、高分别为，表面积为，则有。
由，故，问题为求的最小值。
令得唯一驻点此时，又实际问题的最值存在，故水箱的长、宽、高分别为4m , 4m , 2m时，所用的材料最省。
解法2： 设水箱的长、宽、高分别为，则目标函数为。
约束条件为
作拉格朗日函数
可得方程组。
将上述方程组中的第一个方程乘，第二个方程乘，第三个方程乘，再两两相减，得
代入第四个方程得唯一驻点，由问题本身可知最大值一定存在，因此，当容器的长，宽均为4米，高为2米时用料最省。
六、证明题。
证明：证：
在中令得。所以
综合练习三参***。
一、单项选择题。
1、d 2、c 3、c 4、b 5、a 6、c 7、b 8、d
二、填空题。
三、解答题。
1、求定积分。
解。2、求定积分
解：令 3、判定级数(为常数) 的敛散性，并指出是否是绝对收敛
解： 因为又因为。
故级数收敛 ， 所以收敛 ， 因此原级数绝对收敛。
4、将函数展开为的幂级数，并求出其收敛域。
解：因为 所以。
因此。5、求微分方程求微分方程的通解。
解：这是一个一阶线性微分方程。
由通解公式得：
6、求隐函数的偏导数。
解：设， 所以
7、设，其中具有连续偏导数，求全微分。
解：由于。所以。
8、求二重积分，其中d是由直线和圆所围成且在直线上方的平面区域。
解：直线与圆的交点为。
四、应用题。
1、设由曲线与直线和轴所围成的落在第一象限的平面区域。求：
1）区域的面积；
2）由区域绕轴旋转一周所成的旋转体的体积。
解：曲线与直线的交点为。
(1) 区域d的面积为
(2) 旋转体的体积。
2、某农场欲围一个面积为54平方米的矩形场地，正面所用材料每米造价10元，其余三面每米造价5元，求场地长、宽各多少米时，所用的材料费用最少？最小费用是多少？
解：设场地长为米，宽为米，则总造价为。
约束条件为
作拉格朗日函数
求的偏导数，并令其为零得。
解得 ， 由于驻点唯一，所以场地的长为6米、宽为9米时，所用的材料费用最少。最小费用为 （元）
五、证明题。
设为连续函数，，证明：。
证法1：证法2：
综合练习四参***。
一、单项选择题。
1、a 2、c 3、b 4、b 5、d 6、c 7、a 8、b
二、填空题。
三、计算下列各题：
1、求定积分。
解。2、求定积分。
解： 3、判定级数敛散性。若收敛，指出是否绝对收敛。
解：， 所以正顶级数收敛。
因此级数绝对收敛。
4、求幂函数的收敛区间和和函数。
解：因为，所以幂函数的收敛区间为
设， 积分得。
由于故。5、设二元函数，求全微分。
解。6、设二元函数由方程确定，其中有连续偏导数，求。
解：令， 所以。
7、求二重积分，其中d是由直线和圆所围成且在直线下方的平面区域。
解：直线与圆的交点为。
8、求微分方程的通解。
解：这是一个一阶线性方程
由通解公式得：
四、应用题：
1、某工厂生产甲、乙两种产品，当产量分别为(千件)和(千件)时，销售收入为。
万元)如果工厂每月只能生产2千件产品，问两种产品各生产多少件时，这个月的销售收入最大？(8分)
解： 因为。
作拉格朗日函数：
由得。由于驻点唯一，所以甲产品为0.5（千件）、乙产品为1.5（千件），可使销售收入最大。
2、设区域d是由曲线与直线和轴所围成，求。
1) 区域d的面积； (2) 区域d绕轴旋转一周所成的旋转体的体积。
解：曲线与直线的交点为。
高数B2甲答案
装订线。安徽工业大学工商学院2013级高等数学b2期终考试试卷 甲卷 参 和评分标准。一 单项选择题 每题3分，共24分 二 填空题 每题2分，共20分 三 解答题 7小题，共56分 19 6分 设抛物线，直线与轴和轴所围成图形为d，求d绕轴旋转所成的旋转体的体积。5分。23 求幂级数的收敛域及和函...
高数B2作业题
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数学物理方法b 2卷答案
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