高等数学作业。答案。aⅲ
吉林大学公共数学教学与研究中心。
2023年3月。
第一次作业。
学院班级姓名学号。
一、单项选择题。
1．设l是圆周，则(d )
（abcd）．
2．设l是由(0, 0), 2, 0), 1, 1)三点连成的三角形边界曲线，则( a )．
（abcd）．
3．设是锥面在的部分，则( d )．
（ab）；cd）．
4．设为，是在第一卦限中的部分，则有(c )．
（ab）；cd）．
二、填空题。
1．设曲线l为下半圆，则．
2．设l为曲线上从到的一段，则．
3．设表示曲线弧，则．
4．设是柱面在之间的部分，则．
5．设是上半椭球面，已知的面积为a，则36a．
三、计算题。
1．计算，其中l为圆周，直线及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．
解：所以：原式=2（）+
2．，其中．
3．计算曲面积分，其中曲面被柱面所截得部分。
解：投影域。
由于曲面关于xoz平面对称，因此。
4．求，其中是介于与之间的柱面．
解； =四、应用题。
1．求底圆半径相等的两个直交圆柱面及所围立体的表面积．
解： 2．求面密度的均匀半球壳关于z轴的转动惯量．
第二次作业。
学院班级姓名学号。
一、单项选择题。
1．设l是圆周负向一周，则曲线积分。
b ) （a）0bcd）．
2．设l是椭圆沿逆时针方向，则曲线积分。
a )．（abc）1d）0．
3. 设曲线积分与路径无关，其中具有连续的导数，且，则等于（ b ）
（ab） （cd）1
4．已知为某函数的全微分，则( b )正确．
（ab）0c）2d）1．
二、填空题。
1．设l为正向一周，则．
2．设l为封闭折线正向一周，则0 ．
3．设l为从x=0到一段弧，将化为第一型曲线积分为．
4．设l为封闭折线沿顺时针方向，则0 ．
三、计算题。
1．计算，其中l是抛物线上从点到，再沿直线到的曲线．
2．计算，其中l是圆周上从到的一段弧．
解一：补充，则构成闭曲线（正向），由green公式：
而。解二：在面内有一阶连续偏导，且。
曲线积分与路径无关，则。
3．设在内具有一阶连续导数，l是半平面内的有向分段光滑曲线，其起点为，终点为．证明。
1）证明曲线积分i与路径l无关。
2）当时，求i的值。
答案（1）证：
（2）解：由于与路径无关，取折线段到，以及到。
利用，则。4．设力，证明力f在上半平面内所作的功与路径无关，并求从点到点力f所作的功．
1）证。在有一阶连续偏导且．
在上半平面内所作的功与路径无关．
2）取积分路径为折线。
则。5．计算，其中在连结点与的线段之下方的任意路线，且该路线与ab所围成的面积为2，具有连续的导数。
解：补上，记，l 为封闭曲线为正方向，d是由l所围成的区域，设。
且，则。由green公式，有。
故。四．证明题。
证明，并由此估计的上界。其中为球面与平面的交线并已取定方向。
证：第三次作业。
学院班级姓名学号。
一、单项选择题。
1．设是球面外侧，则曲面积分。
a ) （a）0bcd）．
2．设空间闭区域由曲面与平面围成，记的表面外侧为，的体积为v，则（ b ）
（a）0； （b）v； （c）2v； （d）3v.
3．设是球面的外侧，则曲面积分。
d )．（a）0b）1cd）．
4设，其中为锥面介于平面及之间部分的下侧，则（a ）
（a）； b）; c)； d）
二、填空题。
1．设为球面，法向量向外，则．
2．向量场在点处的散度diva= 2 ．
3．设向量场，则．
4．设是平面在第一卦限部分的下侧，则化为对面积的曲面积分为．
5．设为球面，法向量向外，则 ．
6．设，则 2
三、计算题。
1．计算，其中是球面的下半球面，法线朝上，是法线正向与z轴正向的夹角。
解：设是在oxy面上的投影。
2．计算，其中为连续函数，为平面在第四卦限部分的上侧。
解：的法向量方向余弦。
原式=也可用合一投影法解此题。
3．计算曲面积分
其中， 方向外侧。
解：在椭球面内作辅助小球面，方向内侧。
有高斯公式）
i=34．计算，其中是曲面的上侧．
解：投影域，用合一投影法。
5．计算，其中是平面与柱面的交线，从z轴正向看去，取逆时针方向．
设，取上侧由stokes公式：
6. 计算曲面积分其中是球面。
解： 质心公式）+0（对称性）=
阶段测试题。
学院班级姓名学号。
一、单项选择题（每小题3分，满分18分）
1．二元函数在连续，且、存在是在可微的（ b ）条件．
a）充分 （b）必要 （c）充分必要 （d）非充分非必要。
2．已知、在（0，0）连续，则在（0，0）处，在处（ a ）．
a）均连续b）均不一定连续。
c）均不连续d）一定连续，不一定连续。
3．设l为椭圆的顺时针方向，则（ a）．
ab） （c）0d）
4．设d由和围成，则（ c ）．
a）0b）1c）2/3 （d）4/3
5．设由围成，则三重积分化为柱面坐标系下三次积分为（ d ）．
a） （b）
cd）6．设，由（0，0，-1）到（0，0，1）则以下计算（ d ）错误．
a） （b） （cd）
二、填空题（每小题3分，满分21分）
1．已知，则 01 ．
2．在点处沿 （0 ,1 ,2） 方向的方向导数最大，方向导数的最大为．
3．设，其中，则 0 ．
4．设为由，围成的空间区域，为常数，则．
5．l为上半圆周，则．
6．设是柱面在之间的部分，则．
7．设，改变积分次序；化为极坐标下二次积分为．
三、解答题（每小题8分，满分48分）
1．，其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶导数。求．
解： 2．已知，而是由方程确定的的函数，求．
解法1： 即。
解法2：在方程组两边求微分，及：
由（2）代入①
整理及。解法3：方程确定，则。
解得。3．计算，其中d由围成．
解：①图交点 ②
4．计算，其中为锥面被柱面截得的有限部分．解： 即。
5．计算曲线积分，其中为连接点o(0, 0)和的任何路径，但与直线oa围成的图形onao有定面积．
解： 补充（如图），则成闭曲线（正向）
由green公式，
而 6．设连续，，其中，求，．
解： 四、证明题（满分6分）
求证，并由此估计的上界，其中r为球面与平面的交线并已取定方向，p,q,r为连续函数．
证：五、应用题（满分7分）
求内接于椭球面，且棱平行于对称轴的体积最大的长方体．
解：设第一卦限内顶点为则长方体长、宽、高分别为、2y、2z且。作。
令。由①-③得：代入③
得。由实际意义。
第四次作业。
学院班级姓名学号。
一、单项选择题。
1．设，则下列级数中肯定收敛的是 ( d )．
（ab）； cd）．
2．若级数都发散，则 ( c )．
（a）发散b）发散；
（c）发散d）发散．
3．设级数收敛，则必收敛的级数为 ( d )．
（ab）；（cd）．
4．设a为常数，则级数（ c ）．
（a）绝对收敛； （b）条件收敛； （c）发散； （d）收敛性取决于a的值．
5．设，下列结论中正确的是（ a ）
a）级数和都收敛 （b）级数和都发散。
c）级数收敛，而都发散 （d）级数发散，而收敛。
6． 则级数。
(a) 发散b) 绝对收敛；
c）条件收敛d) 收敛性根据条件不能确定。
二、填空题。
1．若级数，则级数= 8 ．
2．设级数收敛，则满足什么条件 p>1
3．当（-1,1）时，级数的收敛。
三、计算题。
1．判别级数的敛散性。
解：当时 由比较判别法，级数发散。
当时 由比较判别法，级数收敛。
2．求级数的和．
解一：解二：
3．设正项数列单调减少，且发散，试问级数是否收敛？并说明理由．
且单调减少．（单调有界准则）
且，否则，则为交错级数，满足莱收敛．
为正项级数，由根值判别法．
收敛．4．判别级数的敛散性。
解：交错级数但不满足莱布尼兹判别法条件，加括号成为。
且。故收敛。
又，从而原级数收敛。
5．判别级数的敛散性（）
解：记， 当时，收敛。当时，收敛。
当时，故发散。
6．讨论级数的敛散性。
解：当时 ，故级数发散。
当时， ，故级数绝对收敛。
四．证明题。
1．若正项数列单调增加且有上界，证明收敛。
解：记，显然与同敛散。
的部分和有上界。
故收敛。收敛。
2．若级数绝对收敛，证明绝对收敛。
解： 故绝对收敛。
第五次作业。
学院班级姓名学号。
一、单项选择题。
1．设，则幂级数的收敛半径（ d ）．
（a）； b）； c）； d）．
2．已知函数在处收敛，则在处，该级数为（ c ）．
（a）发散； （b）条件收敛； （c）绝对收敛； （d）收敛性不定．
3．幂级数的收敛域是 ( d )．
（a）； bc）[-3, 3d）．
4．展开为x的幂级数是 ( c )．
（a）； b）； c）； d）．
5. 设，而，其中。
则（ a ）
a） （b） （cd）
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