讲义11 双曲线向量。
一。（根据09年清华大学自主招生试题改编）
1.已知椭圆的左顶点，过右焦点且垂直于长轴的弦长为．
ⅰ）求椭圆的方程；
ⅱ）若过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，过原点与平行的直线与椭圆交于点，求证：为定值．
二．双曲线。
1．[2011·安徽卷] 双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )
a．2 b．2 c．4 d．4
2．[2011·成都二诊] 设集合p＝，q＝，记a＝p∩q，则集合a中元素的个数是( )
a．3 b．1 c．2 d．4
3．[2011·朝阳二模] 双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为( )
a．2 b．3 c．4 d．5
4．双曲线－＝1的共轭双曲线的离心率是___
5.（全品改编）已知双曲线的左右焦点分别为，定点，点在双曲线的右支上运动，则的最小值等于___
6．直线l的方程为y＝x＋3，在l上任取一点p，若过点p且以双曲线12x2－4y2＝3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为。
解析：所求椭圆的焦点为f1(－1,0)，f2(1,0),2a＝|pf1|＋|pf2|.欲使2a最小，只需在直线l上找一点p，使|pf1|＋|pf2|最小，利用对称性可解．
答案：＋＝1
三。关于向量的综合。
10．2011浙江理科）设，分别为的焦点， 点a,b在椭圆上，若，则的坐标2
11.如图，已知椭圆=1(a＞b＞0)，f1、f2分别为椭圆的左、右焦点，a为椭圆的上顶点，直线af2交椭圆于另一点b.(1)若∠f1ab=90°，求椭圆的离心率；
2)若＝2，·＝求椭圆的方程．
解：(1)若∠f1ab＝90°，则△aof2为等腰直角三角形，所以有oa＝of2，即b＝c.
所以a＝c，e＝＝.
2)由题知a(0，b)，f1(－c,0)，f2(c,0)，其中，c＝，设b(x，y)．
由＝2(c，－b)＝2(x－c，y)，解得x＝，y＝－，即b(，－
将b点坐标代入＋＝1，得＋＝1，即＋＝1，解得a2＝3c2.①
又由·＝(c，－b)·(
b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.②
由①，②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.
所以椭圆方程为＋＝1.
11．已知，则“”是“”的。
a)充分不必要条件 (b)必要不充分条件
(c)充要条件d)既不充分也不必要条件。
12．如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是。
a) (b) (c) (d)
13．设为实数，命题： r，，则命题的否定是。
a）： rb）： r,
c）： rd）： r,
14．若函数是偶函数，则实数的值为。
(abcd)
17．若平面向量的夹角为，且，则。
ab) (c) (d)
21．已知数列满足，，则的值为。
(a) (bcd)
22．若双曲线的一条渐近线与直线平行，则此双曲线的离心率是。
(abcd)
25．若满足条件的点构成三角形区域，则实数的取值范围是。
(a) (b) (c) (d)
30．若不存在整数满足不等式，则实数的取值范围是 ▲
33．(本题8分) 如图，由半圆和部分抛物线。
（，）合成的曲线c
称为“羽毛球形线”，且曲线c经过点。
（1）求的值；
2）设，，过且斜率为的直线。
与“羽毛球形线”相交于， ,三点，问是否存在实数，使得？
若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
33．解：（1）把点代入。
得，所以．2）方法一：由题意得方程为，代入得，所以或，所以点的坐标为．
又代入得。所以或，所以点的坐标为．
因为， 所以，即，即，解得．又由题意，即，而，因此存在实数，使．
（2）方法二：由题意可知，则，故。
由题意可设，其中，则，所以，所以或(舍去) ．
故，因此存在实数，使得．
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