初中数学竞赛专题选讲(初三。2)
完全平方数和完全平方式。
一、内容提要。
一定义。1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方,那么这个数叫做完全平方数。
例如0,1,0.36,,121都是完全平方数。
在整数集合里,完全平方数,都是整数的平方。
2. 如果一个整式是另一个整式的平方,那么这个整式叫做完全平方式。
如果没有特别说明,完全平方式是在实数范围内研究的。
例如:在有理数范围 m2, (a+b-2)2, 4x2-12x+9, 144都是完全平方式。
在实数范围 (a+)2, x2+2x+2, 3也都是完全平方式。
二。 整数集合里,完全平方数的性质和判定。
1. 整数的平方的末位数字只能是0,1,4,5,6,9.所以凡是末位数字为2,3,7,8的整数必不是平方数。
2. 若n是完全平方数,且能被质数p整除, 则它也能被p2整除。
若整数m能被q整除,但不能被q2整除, 则m不是完全平方数。
例如:3402能被2整除,但不能被4整除,所以3402不是完全平方数。
又如:444能被3整除,但不能被9整除,所以444不是完全平方数。
三。 完全平方式的性质和判定。
在实数范围内。
如果 ax2+bx+c (a≠0)是完全平方式,则b2-4ac=0且a>0;
如果 b2-4ac=0且a>0;则ax2+bx+c (a≠0)是完全平方式。
在有理数范围内。
当b2-4ac=0且a是有理数的平方时,ax2+bx+c是完全平方式。
四。 完全平方式和完全平方数的关系。
1. 完全平方式(ax+b)2 中。
当a, b都是有理数时, x取任何有理数,其值都是完全平方数;
当a, b中有一个无理数时,则x只有一些特殊值能使其值为完全平方数。
2. 某些代数式虽不是完全平方式,但当字母取特殊值时,其值可能是完全平方数。
例如: n2+9, 当n=4时,其值是完全平方数。
所以,完全平方式和完全平方数,既有联系又有区别。
五。 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系。
1. 在整系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)中。
1 若b2-4ac是完全平方数,则方程有有理数根;
2 若方程有有理数根,则b2-4ac是完全平方数。
2. 在整系数方程x2+px+q=0中。
1 若p2-4q是整数的平方,则方程有两个整数根;
2 若方程有两个整数根,则p2-4q是整数的平方。
二、例题。例1. 求证:五个连续整数的平方和不是完全平方数。
证明:设五个连续整数为m-2, m-1, m, m+1, m+2. 其平方和为s.
那么s=(m-2)2+(m-1)2+m2+(m+1)2+(m+2)2
5(m2+2).
m2的个位数只能是0,1,4,5,6,9
m2+2的个位数只能是2,3,6,7,8,1
m2+2不能被5整除。
而5(m2+2)能被5整除,即s能被5整除,但不能被25整除。
五个连续整数的平方和不是完全平方数。
例2 m取什么实数时,(m-1)x2+2mx+3m-2 是完全平方式?
解:根据在实数范围内完全平方式的判定,得。
当且仅当时,(m-1)x2+2mx+3m-2 是完全平方式。
=0,即(2m)2-4(m-1)(3m-2)=0.
解这个方程, 得 m1=0.5, m2=2.
解不等式 m-1>0 , 得m>1.
即 它们的公共解是 m=2.
答:当m=2时,(m-1)x2+2mx+3m-2 是完全平方式。
例3. 已知: (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式。
求证: a=b=c.
证明:把已知代数式整理成关于x的二次三项式,得。
原式=3x2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc
它是完全平方式,
即 4(a+b+c)2-12(ab+ac+bc)=0.
2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0,a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0.
要使等式成立,必须且只需:
解这个方程组,得a=b=c.
例4. 已知方程x2-5x+k=0有两个整数解,求k的非负整数解。
解:根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时,△是完全平方数。
可设△= m2 (m为整数),即(-5)2-4k=m2 (m为整数),解得,k=.
k是非负整数,
由25-m2≥0, 得 , 即-5≤m≤5;
由25-m2是4的倍数,得 m=±1, ±3, ±5.
以 m的公共解±1, ±3, ±5,分别代入k=.
求得k= 6, 4, 0.
答:当k=6, 4, 0时,方程x2-5x+k=0有两个整数解。
例5. 求证:当k为整数时,方程4x2+8kx+(k2+1)=0没有有理数根。
证明: (用反证法)设方程有有理数根,那么△是整数的平方。
△=(8k)2-16(k2+1)=16(3k2-1).
设3k2-1=m2 (m是整数).
由3k2-m2=1,可知k和m是一奇一偶,下面按奇偶性讨论3k2=m2+1能否成立。
当k为偶数,m为奇数时,左边k2是4的倍数,3k2也是4的倍数;
右边m2除以4余1,m2+1除以4余2.
等式不能成立。; 当k为奇数,m为偶数时,左边k2除以4余1,3k2除以4余3
右边m2是4的倍数,m2+1除以4余1
等式也不能成立。
综上所述,不论k, m取何整数,3k2=m2+1都不能成立。
3k2-1不是整数的平方, 16(3k2-1)也不是整数的平方。
当k为整数时,方程4x2+8kx+(k2+1)=0没有有理数根。
三、练习。1. 如果m是整数,那么m2+1的个位数只能是___
2. 如果n是奇数,那么n2-1除以4余数是__,n2+2除以8余数是___3n2除以4的余数是__.
3. 如果k不是3的倍数,那么k2-1 除以3余数是___
4. 一个整数其中三个数字是1,其余的都是0,问这个数是平方数吗?为什么?
5. 一串连续正整数的平方12,22,32,……1234567892的和的个位数是__.
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6. m取什么值时,代数式x2-2m(x-4)-15是完全平方式?
7. m取什么正整数时,方程x2-7x+m=0的两个根都是整数?
8. a, b, c满足什么条件时,代数式(c-b)x2+2(b-a)x+a-b是一个完全平方式?
9. 判断下列计算的结果,是不是一个完全平方数:
1 四个连续整数的积; ②两个奇数的平方和。
10. 一个四位数加上38或减去138都是平方数,试求这个四位数。
11. 已知四位数是平方数,试求a, b.
12. 已知:n是自然数且n>1. 求证:2n-1不是完全平方数。
13. 已知:整系数的多项式4x4+ax3+13x2+bx+1 是完全平方数,求整数a和b的值。
14. 已知:a, b是自然数且互质,试求方程x2-abx+ (a+b)=0的自然数解。
2023年泉州市初二数学双基赛题)
4. 不是平方数,因为能被3整除而不能被9整除。
5. 5。因为平方数的个位数是。
即个位数为5×8+5
6. 3,5 7. 12,10,6 8. a=b,a=c且c>b 9. 都不是。
10. 1987. ∵a2-b2=176=2×2×2×2×11 ……
11. 7744(882). 是平方数, a+b是11的倍数
可从中检验,得出答案。
12 用反证法,设2n-1=a2,a必是奇数, 设a=2k+1……
14 x1=1, x2=2
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