一、（15分）计算下列各题：
1、（5分）已知阶行列式的第行元素分别为，第行元素对应的余子式依次是，求的值。
2、（5分）已知矩阵满足关系，其中，求矩阵。
3、（5分）设为阶方阵的伴随矩阵， =计算行列式的值。
二、（15分）计算阶行列式： 。注释：
该行列式主对角线上元素都是，第一行和第一列除去第一个位置的元素是外，其余的都是，行列式中其余的元素都是。要求写出解题步骤，也可以用语言叙述）.
三、（30分）证明下列各题。
1、（10分）如果，那么。
2、（10分）为阶方阵，如果，则：秩秩=，其中是阶单位矩阵。
3、（10分）是线性空间上的可逆线性变换，则的特征值一定不为。
四、（15分） 设4元齐次线性方程组为，又已知某4元齐次线性方程组的通解为：.
1）（5分）求方程组的基础解系；
2）（10分）问方程组与是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解。 若没。
有，则说明理由。
五、（20分）设实二次型通过正交线性变换。
化成标准形，求常数的值及所用的正交线性变换矩阵。
六、（15分）符号表示由向量生成的子空间。设有子空间。
1）（5分）将和用符号的形式表示出来；
2）（10分）求子空间和的维数和一组基。
七、（10分） 列向量和是空间的两组基，线性变换在和下的矩阵分别为和，证明：和是相似的。
八、（15分） 如果向量可以由向量组线性表出，证明：表示方法是惟一的充分必要条件是向量组线性无关。
九、（15分）设是阶实对称矩阵且正定，为实矩阵，为的转置矩阵，证明： 为正定矩阵的充分必要条件是的秩。
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