1． 设a为实数，试证：多项式至少有一个实根（重根以一个计算）。问此多项式何时无实根？何时有重根？
2． 计算行列式。
3． 设是线性空间v的s个非平凡的子空间，证明：v中至少有一个向量不属于中任何一个。
4． 设，其中e是n阶单位矩阵，是n维非零列向量，是的转置，试证明：
1）的充分必要条件是；
2）当时，a是奇异矩阵。
5. 令s是r上向量空间v的一些线性变换作成的集合，v的一个子空间w如果在s中每一线性变换下不变，那么就说w是s的一个不变子空间。设s不可约，而是v的一个线性变换，它与s中每一线性变换可换，试证明：
或者是零变换，或者是可逆变换。
6. 设是正定二次型，其中。
令，对于阵，是。
也是正定的。
7. 设为n维欧式空间v的一组便准正交基，证明：对于任意，以下不等式成立。
8. 设a是s*n实矩阵，是n阶单位阵，n是任一正整数是a的转置求证：，其中，r（a）为a的秩。
湖南大学考研2023年高等代数真题
1.设n阶矩阵。求矩阵的行列式，并证明是正定的。2.证明每一个非零的幂零矩阵都不能相似于对角矩阵。3.正交矩阵的实特征根为1或 1.4.设，1 求a的不变因子 2 求a的约当标准型。5.如果是n维欧氏空间v中的线性无关的向量组，那么，存在一个向量使得。6.设和w是向量空间n的子空间。如果w包含在的并...
湖南大学考研2023年高等代数真题
一 计算下列行列式 二 设a是矩阵 是a的伴随矩阵。证明 1 如果秩a n，则秩 n 2 如果秩a n 1，则秩 1 3 如果秩a三 设a为n维欧氏空间v的一个线性变换。1 证明a是正交变换的充要条件是a保持向量的长度不变，即。2 v的任一保持向量长度不变的变换是否一定是正交变换？四 设，秩 a，b...
湖南大学2023年高等代数考研真题
高等代数 2005年真题。一 20分 证明 数域上的一个次多项式能被它的导数整除的充要条件是，二 20分 设，计算下面的行列式 三 15分 已知矩阵，其中，求矩阵。四 20分 给定线性方程组。当满足什么条件时，方程组 1 有惟一解？无穷多解？无解？五 20分 设是一实二次型，若有实维向量，使得，证明...