1.设n阶矩阵。求矩阵的行列式,并证明是正定的。
2.证明每一个非零的幂零矩阵都不能相似于对角矩阵。
3.正交矩阵的实特征根为1或-1.
4.设,(1)求a的不变因子;
(2)求a的约当标准型。
5.如果是n维欧氏空间v中的线性无关的向量组,那么,存在一个向量使得。
6.设和w是向量空间n的子空间。如果w包含在的并集中,那么,w包含在某一个中。
湖南大学2023年高等代数真题。
1. 证明a不是一个正定矩阵,其中。
2. 已知n阶方阵a的秩,试求其伴随矩阵的秩。
3. 令s1(n,f)=,找出向量空间s1(n,f)的一组基,其中矩阵a的基被定义为a的主对角线元素之和。
4. 问当p是奇素数时多项式是否在有理数域上可约?如果是,请证明;如果不是,请举例说明。
5. 在复数域上求矩阵的约当标准型,并且写出其初等因子。
6. 设是n维欧氏空间v的一个单位向量,定义,这个变换被称为镜面反射。证明:
i)每个镜面反射a是一个正交变换,并且a在标准正交基下的矩阵的行列式为-1.
ii)如果b是一个正交变换,并且b的特征根1的特征子空间是n-1维的,那么,b是一个镜面反射。
7.设a为n阶实可逆矩阵。证明:a可以分解成a=qr,其中q为正交阵,r是一个对角线上全为正实数的上三角阵,并且这种分解是唯一的。
湖南大学2023年高等代数真题。
1、计算n-1阶行列式。
2、设是实数域r上的多项式。
(1)证明:是的重根当且仅当;
2)若多项式有重根,试确定常数a;
3)设,证明:若有极值,则存在常数使得有重根;
4)试讨论命题(3)的逆命题是否成立。
3、设a为n阶方阵,是其伴随矩阵。证明:
1)若矩阵a的秩r(a)(2)设是齐次线性方程组ax=0的一个非零解,则非齐次线性方程组有解的充分必要条件是矩阵a的秩r(a)=n-1。
4、证明:(1)设a是n阶正交矩阵,且|a|=-1,则-1是矩阵a的一个特征值;
2)设a,b都是n阶正交矩阵,且|a|=-b|,则。
5、设a,b都是n阶实对称方阵,其中b正定,。证明:
1)存在n阶实对称正定矩阵q,使得;
2)函数在二次曲面上的某点达到最大值。
6、设是数域p上n-1个给定的数。证明n维向量空间中凡是分量满足的向量组成的一个子空间v。试求出子空间v的维数和一组基。
7、设a是n阶实对称正定矩阵,b为同阶实对称矩阵,证明:则必存在可逆矩阵t,使得。
1)存在可逆矩阵t,使得,且为对称矩阵,其中为n阶单位矩阵;
2)的对角元素为矩阵的特征值。
8、设是n维向量空间v上的一个线性变换,且,其中是v上的单位变换。证明:
1)线性变换的特征值为1和-1:
2)设和分别为特征值1和-1的特征子空间,则;
3)试问线性变换可否对角化?试说明理由。
9、设与是n维欧氏空间v上的两组标准正交基,试证:
1)证明由过渡到的过渡矩阵为正交矩阵;
2)若v上的一个正交变换使得,设由与生成子空间分别为和,证明。
湖南大学考研2023年高等代数真题
一 计算下列行列式 二 设a是矩阵 是a的伴随矩阵。证明 1 如果秩a n,则秩 n 2 如果秩a n 1,则秩 1 3 如果秩a三 设a为n维欧氏空间v的一个线性变换。1 证明a是正交变换的充要条件是a保持向量的长度不变,即。2 v的任一保持向量长度不变的变换是否一定是正交变换?四 设,秩 a,b...
湖南大学考研2023年高等代数真题
1 设a为实数,试证 多项式至少有一个实根 重根以一个计算 问此多项式何时无实根?何时有重根?2 计算行列式。3 设是线性空间v的s个非平凡的子空间,证明 v中至少有一个向量不属于中任何一个。4 设,其中e是n阶单位矩阵,是n维非零列向量,是的转置,试证明 1 的充分必要条件是 2 当时,a是奇异矩...
湖南大学2023年高等代数考研真题
高等代数 2005年真题。一 20分 证明 数域上的一个次多项式能被它的导数整除的充要条件是,二 20分 设,计算下面的行列式 三 15分 已知矩阵,其中,求矩阵。四 20分 给定线性方程组。当满足什么条件时,方程组 1 有惟一解?无穷多解?无解?五 20分 设是一实二次型,若有实维向量,使得,证明...