湖南大学考研2023年高等代数真题

1.设n阶矩阵。求矩阵的行列式，并证明是正定的。

2.证明每一个非零的幂零矩阵都不能相似于对角矩阵。

3.正交矩阵的实特征根为1或-1.

4.设，（1）求a的不变因子；

（2）求a的约当标准型。

5.如果是n维欧氏空间v中的线性无关的向量组，那么，存在一个向量使得。

6.设和w是向量空间n的子空间。如果w包含在的并集中，那么，w包含在某一个中。

湖南大学2023年高等代数真题。

1. 证明a不是一个正定矩阵，其中。

2. 已知n阶方阵a的秩，试求其伴随矩阵的秩。

3. 令s1（n，f）=，找出向量空间s1（n，f）的一组基，其中矩阵a的基被定义为a的主对角线元素之和。

4. 问当p是奇素数时多项式是否在有理数域上可约？如果是，请证明；如果不是，请举例说明。

5. 在复数域上求矩阵的约当标准型，并且写出其初等因子。

6. 设是n维欧氏空间v的一个单位向量，定义，这个变换被称为镜面反射。证明：

i）每个镜面反射a是一个正交变换，并且a在标准正交基下的矩阵的行列式为-1.

ii）如果b是一个正交变换，并且b的特征根1的特征子空间是n-1维的，那么，b是一个镜面反射。

7.设a为n阶实可逆矩阵。证明：a可以分解成a=qr，其中q为正交阵，r是一个对角线上全为正实数的上三角阵，并且这种分解是唯一的。

湖南大学2023年高等代数真题。

1、计算n-1阶行列式。

2、设是实数域r上的多项式。

（1）证明：是的重根当且仅当；

2）若多项式有重根，试确定常数a；

3）设，证明：若有极值，则存在常数使得有重根；

4）试讨论命题（3）的逆命题是否成立。

3、设a为n阶方阵，是其伴随矩阵。证明：

1）若矩阵a的秩r（a）（2）设是齐次线性方程组ax=0的一个非零解，则非齐次线性方程组有解的充分必要条件是矩阵a的秩r（a）=n-1。

4、证明：（1）设a是n阶正交矩阵，且|a|=-1，则-1是矩阵a的一个特征值；

2）设a，b都是n阶正交矩阵，且|a|=-b|，则。

5、设a，b都是n阶实对称方阵，其中b正定，。证明：

1）存在n阶实对称正定矩阵q，使得；

2）函数在二次曲面上的某点达到最大值。

6、设是数域p上n-1个给定的数。证明n维向量空间中凡是分量满足的向量组成的一个子空间v。试求出子空间v的维数和一组基。

7、设a是n阶实对称正定矩阵，b为同阶实对称矩阵，证明：则必存在可逆矩阵t，使得。

1）存在可逆矩阵t，使得，且为对称矩阵，其中为n阶单位矩阵；

2）的对角元素为矩阵的特征值。

8、设是n维向量空间v上的一个线性变换，且，其中是v上的单位变换。证明：

1）线性变换的特征值为1和-1：

2）设和分别为特征值1和-1的特征子空间，则；

3）试问线性变换可否对角化？试说明理由。

9、设与是n维欧氏空间v上的两组标准正交基，试证：

1）证明由过渡到的过渡矩阵为正交矩阵；

2）若v上的一个正交变换使得，设由与生成子空间分别为和，证明。

湖南大学考研2023年高等代数真题

一 计算下列行列式 二 设a是矩阵 是a的伴随矩阵。证明 1 如果秩a n，则秩 n 2 如果秩a n 1，则秩 1 3 如果秩a三 设a为n维欧氏空间v的一个线性变换。1 证明a是正交变换的充要条件是a保持向量的长度不变，即。2 v的任一保持向量长度不变的变换是否一定是正交变换？四 设，秩 a，b...

湖南大学考研2023年高等代数真题

1 设a为实数，试证 多项式至少有一个实根 重根以一个计算 问此多项式何时无实根？何时有重根？2 计算行列式。3 设是线性空间v的s个非平凡的子空间，证明 v中至少有一个向量不属于中任何一个。4 设，其中e是n阶单位矩阵，是n维非零列向量，是的转置，试证明 1 的充分必要条件是 2 当时，a是奇异矩...

湖南大学2023年高等代数考研真题

高等代数 2005年真题。一 20分 证明 数域上的一个次多项式能被它的导数整除的充要条件是，二 20分 设，计算下面的行列式 三 15分 已知矩阵，其中，求矩阵。四 20分 给定线性方程组。当满足什么条件时，方程组 1 有惟一解？无穷多解？无解？五 20分 设是一实二次型，若有实维向量，使得，证明...