高等代数——2023年真题。
一．（20分）设是一个不可约多项式，和都是的根。又若也是的根，试证也是的根。
二．（20分）设，，试证：
1）若方程组有解，则方程组的任一解，必满足方程；
2）方程组有解的充分必要条件是无解。
三．（15分）已知阶行列式。
试计算及，其中是中第行各元素的代数余子式。
四．（15分）已知三元二次型经正交变换化为，又知，其中，为的伴随矩阵，求此二次型的表达式。
五．（20分）设为阶方阵，而。
证明：为幂等矩阵当且仅当。
六．（20分）设是数域上维线性空间的一个线性变换，为中个非零元素，。若，，，其中为上的恒等变换。
1）证明为的一组基；
2）求在基下的矩阵。
七．（20分）欧氏空间中的线性变换称为反对称的，若对中任意向量都有。试证明：
1）对有限维欧氏空间来说，线性变换为反对称的充分且必要的条件是，在标准正交基下的矩阵为反对称矩阵；
2）如果是反对称变换的不变子空间，则也是。
八．（20分）设为阶幂零矩阵，即存在正整数使。
1）求的全部特征值；
2）若的秩为，证明；
3）求行列式，其中为阶单位阵。
湖南大学2023年考研高等代数真题
2011年 高等代数 真题。1 计算n阶行列式，其中，2 已知多项式满足求除以的余式。3 设，证明不存在三重根。4 设矩阵a,b分别为和阶矩阵，c为n阶可逆矩阵，且矩阵a的秩为r r5 设，且，证明 a的伴随矩阵的n个特征值中至少有n 1个为0，且一个非零特征值 如果存在 等于，其中为矩阵a的关于元...
湖南大学考研2023年高等代数真题
1.设n阶矩阵。求矩阵的行列式，并证明是正定的。2.证明每一个非零的幂零矩阵都不能相似于对角矩阵。3.正交矩阵的实特征根为1或 1.4.设，1 求a的不变因子 2 求a的约当标准型。5.如果是n维欧氏空间v中的线性无关的向量组，那么，存在一个向量使得。6.设和w是向量空间n的子空间。如果w包含在的并...
湖南大学考研2023年高等代数真题
一 计算下列行列式 二 设a是矩阵 是a的伴随矩阵。证明 1 如果秩a n，则秩 n 2 如果秩a n 1，则秩 1 3 如果秩a三 设a为n维欧氏空间v的一个线性变换。1 证明a是正交变换的充要条件是a保持向量的长度不变，即。2 v的任一保持向量长度不变的变换是否一定是正交变换？四 设，秩 a，b...