一．计算下列行列式：
二．设a是矩阵（），是a的伴随矩阵。证明：
1）如果秩a=n，则秩=n；
2）如果秩a=n-1，则秩=1；
3）如果秩a三．设a为n维欧氏空间v的一个线性变换。
1）证明a是正交变换的充要条件是a保持向量的长度不变，即。
2）v的任一保持向量长度不变的变换是否一定是正交变换？
四．设，秩（a，b）=秩a=2，是ax=b的解。已知。
求ax=b的解。
五．设a是n维欧氏空间的线性变换，如果，使，证明：
1）a在某组基下的矩阵是；
2）v的包含的不变子空间只有v；
3）v不能分解为两个非平凡子空间的直和；
4）对任一自然数k，，v有k维的a不变子空间。
六．设a，b为n阶实矩阵，证明：,其中为a的迹，即a的主对角线上元素的和。
湖南大学考研2023年高等代数真题
1.设n阶矩阵。求矩阵的行列式，并证明是正定的。2.证明每一个非零的幂零矩阵都不能相似于对角矩阵。3.正交矩阵的实特征根为1或 1.4.设，1 求a的不变因子 2 求a的约当标准型。5.如果是n维欧氏空间v中的线性无关的向量组，那么，存在一个向量使得。6.设和w是向量空间n的子空间。如果w包含在的并...
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1 设a为实数，试证 多项式至少有一个实根 重根以一个计算 问此多项式何时无实根？何时有重根？2 计算行列式。3 设是线性空间v的s个非平凡的子空间，证明 v中至少有一个向量不属于中任何一个。4 设，其中e是n阶单位矩阵，是n维非零列向量，是的转置，试证明 1 的充分必要条件是 2 当时，a是奇异矩...
湖南大学2023年高等代数考研真题
高等代数 2005年真题。一 20分 证明 数域上的一个次多项式能被它的导数整除的充要条件是，二 20分 设，计算下面的行列式 三 15分 已知矩阵，其中，求矩阵。四 20分 给定线性方程组。当满足什么条件时，方程组 1 有惟一解？无穷多解？无解？五 20分 设是一实二次型，若有实维向量，使得，证明...