2012各省数学竞赛汇集。
2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷。
一、填空题（70分）
1、当时，函数的最大值为__18___
2、在中，已知则___4___
3、从集合中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为。
4、已知是实数，方程的一个实根是（是虚部单位），则的值为___
5、在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，一条过原点且倾斜角为锐角的直线与双曲线交于两点。若的面积为，则直线的斜率为___
6、已知是正实数，的取值范围是___
7、在四面体中，, 该四面体的体积为。
8、已知等差数列和等比数列满足： 则___
9、将这个数排成一列，使任意连续个数的和为的倍数，则这样的排列有___144___种。
10、三角形的周长为，三边均为整数，且，则满足条件的三元数组的个数为__24___
二、解答题（本题80分，每题20分）
11、在中，角对应的边分别为，证明：
12、已知为实数，，函数。若。
1）求实数；
2）求函数的单调区间；
3）若实数满足，求证：
13、如图，半径为的圆上有一定点为圆上的动点。在射线上有一动点，.线段交圆于另一点，为线段的中点。求线段长的取值范围。
14、设是正整数，是方程的两个根。证明：存在边长是整数且面积为的直角三角形。
2023年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参***。
高一年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）
1．已知集合n，且n，则 1 ．
2．已知正项等比数列的公比，且成等差数列，则．
3．函数的值域为．
4．已知，，则．
5．已知数列满足：为正整数，如果，则 5 ．
6．在△中，角的对边长满足，且，则．
7．在△中，，．设是△的内心，若，则的值为．
8．设是方程的三个根，则的值为 －5 ．
二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）
9．已知正项数列满足且，，求的通项公式．
解在已知等式两边同时除以，得，所以4分。
令，则，即数列是以＝4为首项，4为公比的等比数列，所以8分。
所以，即12分。
于是，当时，因此16分。
10．已知正实数满足，且，求的最小值．
解令，，则。
5分。令，则，且10分。
于是。15分。
因为函数在上单调递减，所以．
因此，的最小值为20分。
11．设，其中且．若在区间上恒成立，求的取值范围．
解 ．由得，由题意知，故，从而，故函数在区间上单调递增5分。
1）若，则在区间上单调递减，所以在区间上的最大值为．
在区间上不等式恒成立，等价于不等式成立，从而，解得或．
结合得10分。
2）若，则在区间上单调递增，所以在区间上的最大值为。
在区间上不等式恒成立，等价于不等式成立，从而，即，解得．
易知，所以不符合15分。
综上可知：的取值范围为20分。
2023年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题。
高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）
1．函数的值域为。
2．已知，，则。
3．已知数列满足：为正整数，如果，则。
4．设集合，是的子集，且满足，，那么满足条件的子集的个数为。
5．过原点的直线与椭圆：交于两点，是椭圆上异于的任一点．若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为。
6．在△中，，．设是△的内心，若，则的值为。
7．在长方体中，已知，则长方体的体积最大时，为。
8．设表示不超过的最大整数，则 ．
二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）
9．已知正项数列满足且，，求的通项公式．
10．已知正实数满足，且，求的取值范围．
11．已知点为抛物线内一定点，过作斜率分别为的两条直线交抛物线于，且分别是线段的中点．
1）当且时，求△的面积的最小值；
2）若（为常数），证明：直线过定点．
2023年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参***。
高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）
1．函数的值域为．
2．已知，，则．
3．已知数列满足：为正整数，如果，则 5 ．
4．设集合，是的子集，且满足，，那么满足条件的子集的个数为 185 ．
5．过原点的直线与椭圆：交于两点，是椭圆上异于的任一点．若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为．
6．在△中，，．设是△的内心，若，则的值为．
7．在长方体中，已知，则长方体的体积最大时，为．
8．设表示不超过的最大整数，则 2012 ．
二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）
9．已知正项数列满足且，，求的通项公式．
解在已知等式两边同时除以，得，所以4分。
令，则，即数列是以＝4为首项，4为公比的等比数列，所以8分。
所以，即12分。
于是，当时，因此16分。
10．已知正实数满足，且，求的取值范围．
解令，，则。
5分。令，则，且10分。
于是。15分。
因为函数在上单调递减，所以．
又，所以20分。
11．已知点为抛物线内一定点，过作斜率分别为的两条直线交抛物线于，且分别是线段的中点．
1）当且时，求△的面积的最小值；
2）若（为常数），证明：直线过定点．
解所在直线的方程为，其中，代入中，得。
设，则有，从而。
则．所在直线的方程为，其中，同理可得．
5分。1）当时，，，
又，故，于是△的面积。
当且仅当时等号成立．
所以，△的面积的最小值为10分。
2），所在直线的方程为，即15分。
又，即，代入上式，得，即．
当时，有，即为方程的一组解，所以直线恒过定点20分。
2023年上海市高中数学竞赛。
一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）
1.如图，正六边形的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是。
2.已知正整数满足：,则的最小可能值是。
2023年各省高中数学竞赛预赛试题
2012各省数学竞赛汇集。目录。1.2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 第3页。2.2012年高中数学联赛湖北省预赛试卷 高一年级 第7页。3.2012年高中数学联赛湖北省预赛试卷 高二年级 第10页。4.2012年高中数学联赛陕西省预赛试卷 第16页。5.2012年高中数学联赛上海市预赛试卷 第...
2023年各省高中数学竞赛预赛试题汇编打印版
2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷。一 填空题 70分 1 当时，函数的最大值为 2 在中，已知则 3 从集合中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为。4 已知是实数，方程的一个实根是 是虚部单位 则的值为 5 在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，一条过原点且倾斜角为锐角的直线与...
高中数学竞赛
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