2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷。
一、填空题（70分）
1、当时，函数的最大值为___
2、在中，已知则___
3、从集合中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为。
4、已知是实数，方程的一个实根是（是虚部单位），则的值为___
5、在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，一条过原点且倾斜角为锐角的直线与双曲线交于两点。若的面积为，则直线的斜率为___
6、已知是正实数，的取值范围是___
7、在四面体中，, 该四面体的体积为。
8、已知等差数列和等比数列满足： 则___
9、将这个数排成一列，使任意连续个数的和为的倍数，则这样的排列有___种。
10、三角形的周长为，三边均为整数，且，则满足条件的三元数组的个数为___
二、解答题（本题80分，每题20分）
11、在中，角对应的边分别为，证明：
12、已知为实数，，函数。若。
1）求实数；
2）求函数的单调区间；
3）若实数满足，求证：
13、如图，半径为的圆上有一定点为圆上的动点。在射线上有一动点，.线段交圆于另一点，为线段的中点。求线段长的取值范围。
14、设是正整数，是方程的两个根。证明：存在边长是整数且面积为的直角三角形。
2023年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参***。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）
1．已知集合n，且n，则 ．
2．已知正项等比数列的公比，且成等差数列，则 ．
3．函数的值域为 ．
4．已知，，则
5．已知数列满足：为正整数，如果，则 ．
6．在△中，角的对边长满足，且，则 ．
7．在△中，，．设是△的内心，若，则的值为
8．设是方程的三个根，则的值为。
二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）
9．已知正项数列满足且，，求的通项公式．
10．已知正实数满足，且，求的最小值．
11．设，其中且．若在区间上恒成立，求的取值范围．
2023年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题（高二年级）
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）
1．函数的值域为。
2．已知，，则。
3．已知数列满足：为正整数，如果，则。
4．设集合，是的子集，且满足，，那么满足条件的子集的个数为。
5．过原点的直线与椭圆：交于两点，是椭圆上异于的任一点．若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为。
6．在△中，，．设是△的内心，若，则的值为。
7．在长方体中，已知，则长方体的体积最大时，为。
8．设表示不超过的最大整数，则 ．
二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）
9．已知正项数列满足且，，求的通项公式．
10．已知正实数满足，且，求的取值范围．
11．已知点为抛物线内一定点，过作斜率分别为的两条直线交抛物线于，且分别是线段的中点．
1）当且时，求△的面积的最小值；
2）若（为常数），证明：直线过定点．
2023年上海市高中数学竞赛。
一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）
1.如图，正六边形的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是。
2.已知正整数满足：,则的最小可能值是。
3.若，则。
4．已知关于的方程仅有一个实数解，则实数的取值范围是。
5．如图，是边长为的正方形的内接三角形，已知，，则。
6．方程的非负整数解。
7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是用数字作答）
8．数列定义如下：.若，则正整数的最小值为。
二、解答题。
9．（本题满分14分）如图，在平行四边形abcd中，，，对角线ac与bd的夹角，记直线ab与cd的距离为．
求的表达式，并写出x的取值范围．
10．（本题满分14分）给定实数，求函数的最小值．
11．（本题满分16分）正实数满足，求证：
12．（本题满分16分）给定整数，记为集合的满足如下两个条件的子集a的元素个数的最小值：
a）；b） a中的元素（除1外）均为a中的另两个（可以相同）元素的和．
1）求的值；
2）求证：．
2023年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）
一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
1、设集合，，则=（
a、 b、c、 d 、
2、正方体中与截面所成的角是。
abcd、
3、已知，则“”是“在上恒成立”的（ ）
a、充分但不必要条件 b、必要但不充分条件 c、充要条件 d、既不充分也不必要条件
4、设正三角形的面积为，作的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为，面积为，如此下去作一系列的正三角形，其面积相应为，设，，则=（
abcd
5、设抛物线的焦点为，顶点为，是抛物线上的动点，则的最大值为（ ）
ab 、 cd
6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为的一个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为（ ）
abcd、二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
7、如图，正方形的边长为3，为的。
中点，与相交于，则的值。
是。8、的展开式中的常数项是用具体数字作答）
9、设等比数列的前项和为，满足，则的值为。
10、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为。
11、已知锐角满足，则的最大值是。
12、从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数，满足条件“”的概率是。
三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）
13、设函数，i）求函数在上的最大值与最小值；
ii）若实数使得对任意恒成立，求的值．
14、已知，满足，i）求的最小值；
ii）当取最小值时，求的最大值．
15、直线与双曲线的左支交于、两点，直线经过点和。
的中点，求直线在轴的截距的取值范围．
16、设函数在上的最大值为（）．
i）求数列的通项公式；
ii）求证：对任何正整数，都有成立；
iii）设数列的前项和为，求证：对任意正整数，都有成立．
2023年各省高中数学竞赛预赛试题
2012各省数学竞赛汇集。目录。1.2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 第3页。2.2012年高中数学联赛湖北省预赛试卷 高一年级 第7页。3.2012年高中数学联赛湖北省预赛试卷 高二年级 第10页。4.2012年高中数学联赛陕西省预赛试卷 第16页。5.2012年高中数学联赛上海市预赛试卷 第...
2023年全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编 含答案
2012各省数学竞赛汇集。2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷。一 填空题 70分 1 当时，函数的最大值为 18 2 在中，已知则 4 3 从集合中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为。4 已知是实数，方程的一个实根是 是虚部单位 则的值为 5 在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点...
2高中数学竞赛预赛训练试题
湖北省黄冈中学高中数学竞赛 预赛 训练试题 二 姓名班级分数。一 填空题 本题满分70分，每小题7分 1 方程的实数解为。2 函数r的单调减区间是。3 在 中，已知，则。4 函数在区间上的最大值是 最小值是 5 在直角坐标系中，已知圆心在原点 半径为的圆与 的边有公共点，其中 则的取值范围为。6 设...