2024年普通高等学校招生全国统一考试（全国）
理科数学。试题及答案解析）
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合，，则中元素的个数为（）
a．3b．2c．1d．0
答案】b解析】表示圆上所有点的集合，表示直线上所有点的集合，故表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即元素的个数为2，故选b.
2．设复数z满足，则（）
abcd．2
答案】c解析】由题，，则，故选c.
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2024年1月至2024年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
2024年2024年2024年。
根据该折线图，下列结论错误的是（）
a．月接待游客量逐月增加。
b．年接待游客量逐年增加。
c．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月。
d．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳。
答案】a解析】由题图可知，2024年8月到9月的月接待游客量在减少，则a选项错误，故选a.
4．的展开式中的系数为（）
abc．40d．80
答案】c解析】由二项式定理可得，原式展开中含的项为。
则的系数为40，故选c.
5．已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点．则的方程为（）
a． b． c． d．
答案】b解析】∵双曲线的一条渐近线方程为，则①
又∵椭圆与双曲线有公共焦点，易知，则②
由①②解得，则双曲线的方程为，故选b.
6．设函数，则下列结论错误的是（）
a．的一个周期为b．的图像关于直线对称。
c．的一个零点为d．在单调递减。
答案】d解析】函数的图象可由向左平移个单位得到，如图可知，在上先递减后递增，d选项错误，故选d.
7．执行右图的程序框图，为使输出的值小于91，则输入的正整数的最小值为（）
a．5b．4
c．3d．2
答案】d解析】程序运行过程如下表所示：
初始状态0 100 1
第1次循环结束 1002
第2次循环结束 90 1 3
此时首次满足条件，程序需在时跳出循环，即为满足条件的最小值，故选d.
8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）
abcd．
答案】b解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径，则圆柱体体积，故选b.
9．等差数列的首项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则前6项的和为（）
abc．3d．8
答案】a解析】∵为等差数列，且成等比数列，设公差为。
则，即。又∵，代入上式可得。
又∵，则。故选a.
10．已知椭圆（）的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（）
abcd．
答案】a解析】∵以为直径为圆与直线相切，∴圆心到直线距离等于半径，又∵，则上式可化简为，可得，即，故选a
11．已知函数有唯一零点，则（）
abcd．1
答案】c解析】由条件，，得：，即为的对称轴，由题意，有唯一零点，的零点只能为，即，解得．
12．在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为（）
a．3bcd．2
答案】a解析】由题意，画出右图．
设与切于点，连接．
以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系，则点坐标为．，．
切于点．
是中斜边上的高．
即的半径为．
在上．点的轨迹方程为．
设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：
而，，．两式相加得：
其中，)当且仅当，时，取得最大值3．
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若x，y满足约束条件则的最小值为___
答案】解析】由题，画出可行域如图：
目标函数为，则直线纵截距越大，值越小．
由图可知：在处取最小值，故．
14．设等比数列满足，，则___
答案】解析】为等比数列，设公比为．
即，显然，得，即，代入式可得，15．设函数则满足的x的取值范围是___
答案】解析】，，即。
由图象变换可画出与的图象如下：
由图可知，满足的解为。
16．，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与。
都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：
当直线与成角时，与成角；
当直线与成角时，与成角；
直线与所成角的最小值为；
直线与所成角的最大值为．
其中正确的是___填写所有正确结论的编号）
答案】解析】由题意知，三条直线两两相互垂直，画出图形如图．
不妨设图中所示正方体边长为1，故，斜边以直线为旋转轴旋转，则点保持不变，点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆．
以为坐标原点，以为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系．
则，直线的方向单位向量，．
点起始坐标为，直线的方向单位向量，．
设点在运动过程中的坐标，其中为与的夹角，．
那么在运动过程中的向量，．
设与所成夹角为，则．
故，所以正确，错误．
设与所成夹角为，当与夹角为时，即，．
．，此时与夹角为．
正确，①错误．
三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答）
一）必考题：共60分．
17．（12分）
的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知，，．
1）求c；2）设为边上一点，且，求的面积．
解析】（1）由得，即，又，，得。
由余弦定理。又∵代入并整理得，故。
2）∵，由余弦定理。，即为直角三角形，则，得。
由勾股定理。
又，则，18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的**当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
1）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；
2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，的数学期望达到最大值？
解析】易知需求量可取。
则分布列为：
当时：，此时，当时取到。
当时： 此时，当时取到。
当时，此时。
当时，易知一定小于的情况。
综上所述：当时，取到最大值为。
19．（12分）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形．，．
1）证明：平面平面；
2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分．求二面角的余弦值．
解析】取中点为，连接，；
为等边三角形，即为等腰直角三角形，
为直角又为底边中点。
令，则。易得：，
由勾股定理的逆定理可得。即。又∵
由面面垂直的判定定理可得。
由题意可知。
即，到平面的距离相等。
即为中点。以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，设，建立空间直角坐标系，则，，，
易得：，，设平面的法向量为，平面的法向量为，则，解得。
解得。若二面角为，易知为锐角，则。
20．（12分）已知抛物线，过点（2，0）的直线交于，两点，圆是以线段为直径的圆．
1）证明：坐标原点在圆上；
2）设圆过点（4，），求直线与圆的方程．
解析】⑴显然，当直线斜率为时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．
设，联立：得，恒大于，，．即在圆上．
若圆过点，则。
化简得解得或。
当时，圆心为，半径。
则圆。当时，圆心为，半径。
则圆。21．（12分）已知函数．
1）若，求的值；
2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．
解析】⑴，则，且。
当时，，在上单调增，所以时，，不满足题意；
当时，当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增．
若，在上单调递增∴当时矛盾。
若，在上单调递减∴当时矛盾。
若，在上单调递减，在上单调递增∴满足题意。
综上所述． 当时即。
则有当且仅当时等号成立，
一方面：，即．
另一方面：
当时， ，的最小值为．
22．选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xoy中，直线的参数方程为（t为参数），直线的参数方程为（m为参数），设与的交点为p，当k变化时，p的轨迹为曲线c．
1）写出c的普通方程：
2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，m为与c的交点，求m的极径．
解析】将参数方程转化为一般方程。
消可得： 即的轨迹方程为；
将参数方程转化为一般方程。
联立曲线和。
解得。由解得。
即的极半径是．
23．选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数．1）求不等式的解集；
2）若不等式的解集非空，求m的取值范围．
解析】可等价为。由可得：
当时显然不满足题意；
当时，，解得；
当时，恒成立。综上，的解集为。
不等式等价为，令，则解集非空只需要。
而。当时，；
当时，；当时，.
综上，，故。
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第 卷。一 选择题 本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 设复数满足，则。a 1 b c d 2 2 sin20 cos10 cos160 sin10 a b c d 3 设命题p nn，则p为。a nn，b nn，c nn，d nn，4 投篮测试中，...
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