2023年普通高等学校招生全国统一考试新课标ⅱ卷。
理科数学。一。选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
a． b． c． d．
解析】，故选d.
2.已知集合，则中元素的个数为（ ）
a．9 b．8 c．5 d．4
解析】解：当x=﹣1时，y2≤2，得y=﹣1，0，1，当x=0时，y2≤3，得y=﹣1，0，1，当x=1时，y2≤2，得y=﹣1，0，1，即集合a中元素有9个，故选：a．
3.函数的图象大致为（ ）
abcd．解析】∵，所以为奇函数，排除a，，当x→+∞时，→+排除c，故选：b．
4.已知向量，满足，，则（ ）
a．4 b．3 c．2 d．0
解析】，故选b
5.双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
a． b． c． d．
解析】∵，故选a.
6.在中，，，则（ ）
ab． c． d．
解析】在中，故选a．
7.为计算，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（ ）
a．i=i+1 b．i=i+2 c．i=i+3 d．i=i+4
解析】模拟程序框图的运行过程知，该程序运行后输出的是。
s=n﹣t=；
累加步长是2，则在空白处应填入i=i+2．故选：b．
8.我国数学家陈景润在哥德**猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德**猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ）
a． b． c． d．
解答】解：在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个不同的数有种，和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种，则对应的概率，故选c．
9.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
a． b． c． d．
解答】解：以d为原点，da为x轴，dc为y轴，dd1为z轴，建立空间直角坐标系，在长方体abcd﹣a1b1c1d1中，ab=bc=1，aa1=，a（1，0，0），d1（0，0，），d（0，0，0），b1（1，1，），设异面直线ad1与db1所成角为θ，则，异面直线ad1与db1所成角的余弦值为，故选c．
10.若在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（ ）
a． bc． d．π
解析】由，得。
取k=0，得的一个减区间为，由在[﹣a，a]是减函数，得，∴．则a的最大值是．故选：a．
11.已知是定义域为（﹣∞的奇函数，满足，若，则（ ）
a．﹣50 b．0c．2 d．50
解析】∵是奇函数，且，则，则，即函数是周期为4的周期函数，f（1）=2，∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，则f（1）+f（2）+f（3）+…f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）
f（1）+f（2）=2+0=2，故选：c．
12.已知是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ）
a． bcd．
解答】由题意可知：a（﹣a，0），f1（﹣c，0），f2（c，0），直线ap的方程为：，由∠f1f2p=120°，|pf2|=|f1f2|=2c，则p（2c，），代入直线ap：
，整理得：a=4c，∴离心率．故选：d．
2、填空题：本大题共3小题，每小题5分。
13.曲线y=2ln(x+1)在点（0，0）处的切线方程为 ．
解答】∵y=2ln（x+1），∴当x=0时，y′=2，曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x．
14.若满足约束条件则的最大值为
解析】画出可行域，易知在点（5，4）处取得最大值9．
15.已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin
解答】sinα+cosβ=1，两边平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1，①，2cosαsinβ=0，两边平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0，②，由①+②得：
2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，即2+2sin（α+1，2sin（α+1，∴sin（α+
16.已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为 ．
解答】圆锥的顶点为s，母线sa，sb所成角的余弦值为，可得．
的面积为，可得，即，即．
sa与圆锥底面所成角为45°，可得圆锥的底面半径为．
则该圆锥的侧面积：．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）记为等差数列的前项和，已知．
ⅰ）求的通项公式；
ⅱ）求，并求的最小值．
解析】（1）∵等差数列中，a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，解得a1=﹣7，d=2，an=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9；
2）∵a1=﹣7，d=2，an=2n﹣9，当n=4时，前n项的和取得最小值为﹣16．
18.（本小题满分12分）如图是某地区2023年至2023年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．
为了**该地区2023年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2023年至2023年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：=30.4+13.
5t；根据2023年至2023年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：=99+17.5t．
（ⅰ）分别利用这两个模型，求该地区2023年的环境基础设施投资额的**值；
（ⅱ）你认为用哪个模型得到的**值更可靠？并说明理由．
解答】解：（1）根据模型①：，计算t=19时， =226.1；
利用这个模型，求出该地区2023年的环境基础设施投资额的**值是226.1亿元；
根据模型②：，计算t=9时，．
利用这个模型，求该地区2023年的环境基础设施投资额的**值是256.5亿元；
2）理由如下：
ⅰ）从折线图可以看出，2023年至2023年的数据对应的点没有随机散布在直线上下，这说明利用2023年至2023年的数据建立线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势，2023年至2023年的数据对应的点位于一条直线附近，这说明从2023年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2023年至2023年的数据建立线性模型可以更好地描述2023年以后的环境基础设施投资变化趋势，说明利用模型②得到的模型**值更可靠。
ⅱ）从计算结果看，相对于2023年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的**值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的**值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的**值更可靠。
以上给出2中理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分。
19.（本小题满分12分）设抛物线的焦点为，过且斜率为k（k＞0）的直线l与c交于a，b两点，|ab|=8．
ⅰ）求l的方程；
ⅱ）求过点a，b且与c的准线相切的圆的方程．
解析】（ⅰ由题意得，的方程为，
由得，，故。
所以，由题设知，解得或（舍去），因此l的方程为。
ⅱ）由（ⅰ）可得ab的中点坐标为，则直线ab的垂直平分线方程为，即y=﹣x+5，设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则，解得：或，因此，所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=16或（x﹣11）2+（y+6）2=144．
20.（本小题满分12分）
如图，在三棱锥p﹣abc中，ab=bc=，pa=pb=pc=ac=4，o为ac的中点．
ⅰ）证明：po⊥平面abc；
ⅱ）若点m在棱bc上，且二面角m﹣pa﹣c为30°，求pc与平面pam所成角的正弦值．
解析】（ⅰ证明：连接bo，ab=bc=，o是ac的中点，∴bo⊥ac，且bo=2，又pa=pc=pb=ac=2，∴po⊥ac，po=，则pb2=po2+bo2，则po⊥ob，ob∩ac=o，∴po⊥平面abc；
ⅱ）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标，由已知得取平面的法向量，设，则设平面的法向量为，由得，可取，所以，由已知得，解得或（舍去），所以，又，所以。
pc与平面pam所成角的正弦值。
21.（本小题满分12分）已知函数．
（ⅰ）若，证明：当x≥0时，≥1；
（ⅱ）若在（0，+∞只有一个零点，求a．
解析】证明：（ⅰ当a=1时，函数．
则，令，则，令，得x=ln2．
当x∈（0，ln2）时，＜0，当x∈（ln2，+∞时，＞0，≥g（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣2ln2＞0，在[0，+∞单调递增，∴.
ⅱ）方法一：在（0，+∞只有一个零点方程在（0，+∞只有一个根，在（0，+∞只有一个根，即函数y=a与的图象在（0，+∞只有一个交点．
当x∈（0，2）时，＜0，当x∈（2，+∞时，＞0，在（0，2）递减，在（2，+∞递增，当→0时，→+当→+∞时，→+f（x）在（0，+∞只有一个零点时，．
2）选考题：共10分，请考生在题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
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