2023年普通高等学校招生全国统一考试新课标ⅰ卷。
文科数学解析版。
一。选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则（ ）
a. b. c. d.
解析】，故选a.
2.设，则（ ）
a.0 bc.1d.
解析】由于，所以，故选c.
3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好的了解该地区农村经济收入变化情况，统计了该地区农村建设前后的农村的经济收入构成比例得到如下饼图：
下面结论中不正确的是（ ）
a.新农村建设后，种植收入减少。
b.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。
c.新农村建设后，养殖收入增加了一倍。
d.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。
解析】设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．
a项，种植收入37%×2a﹣60%a=14%a＞0，故建设后，种植收入增加，故a错误．
b项，建设后，其他收入为5%×2a=10%a，建设前，其他收入为4%a，故10%a÷4%a=2.5＞2，故b正确．
c项，建设后，养殖收入为30%×2a=60%a，建设前，养殖收入为30%a，故60%a÷30%a=2，故c正确．
d项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为（30%+28%）×2a=58%×2a，经济收入为2a，故（58%×2a）÷2a=58%＞50%，故d正确．故选：a．
4.已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为（ ）
abcd.
解析】，，所以，故选c.
5.已知圆柱的上、下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面的面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）
abcd.
解析】设圆柱的底面直径为2r，则高为2r，圆柱的上、下底面的中心分别为o1，o2，过直线o1o2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，可得：4r2=8，解得r=，则该圆柱的表面积为：，故选：
b．6.设函数，若为奇函数，则曲线的在点处的切线方程为（ ）
abcd.
解析】由已知得，所以函数，可得，曲线在点（0，0）处的切线的斜率为，则曲线在点（0，0）处的切线方程为．故选：d．
7.在中，为的中线，为的中点，则（ ）
a. bcd.
解析】由已知得，所以函数，可得，曲线在点（0，0）处的切线的斜率为，则曲线在点（0，0）处的切线方程为．故选：d．
8.已知函数，则（ ）
a.的最小正周期为，最大值为3 b.的最小正周期为，最大值为4
c.的最小正周期为，最大值为3 d.的最小正周期为，最大值为4
解析】，故函数的最小正周期为π，函数的最大值为，故选b.
9.某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上一点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度（ ）
a. b.
c.3d.2
解析】由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为2，直观图以及侧面展开图如图：圆柱表面上的点n在左视图上的对应点为b，则在此圆柱侧面上，从m到n的路径中，最短路径的长度：．故选：b．
10.在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积（ ）
a.8b. cd.
解析】长方体中，ac1与平面bb1c1c所成的角为30°，即∠ac1b=30°，可得bc1=．
可得bb1=．所以该长方体的体积为：．故选：c．
11.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，且，则（ ）
a. b. cd.
解析】∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点a（1，a），b（2，b），且cos2α=，cos2α=2cos2α﹣1=，解得cos2α=，cosα|=sinα|=tanα|=故选b．
12.设函数，则满足的的取值范围是（ ）
a. b. c. d.
解析】由题可得或，解得，故选d.
2、填空题：本大题共3小题，每小题5分。
13.已知函数，若，则
解析】，解得。
14.若满足约束条件则的最大值为
解析】作出不等式组对应的平面区域，易知在点（2，0）处取得最大值6.
15.直线与圆交于两点，则。
解析】圆的圆心，半径为，圆心到直线的距离为：，所以．
16.的内角的对边分别为，已知，，则的面积为
解答】由正弦定理可得sinbsinc+sincsinb=4sinasinbsinc，由于0＜b＜π，0＜c＜π，所以sinbsinc≠0，所以sina=，则或。
由于，则，当时，，解得，所以．
当时，，解得（不合题意），舍去．故。
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）已知数列满足，，设。
（ⅰ）求；（ⅱ）判断数列是否为等比数列，并说明理由。
（ⅲ）求的通项公式。
解析】（ⅰ由已知得，所以。
ⅱ）由于，整理得，∵，数列是以为首项，2为公比的等比数列．
ⅲ）由 （ⅱ得，∵，
18.（本小题满分12分）如图，在平行四边形中，,，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且。
ⅰ）证明：
ⅱ）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积。
解析】（1）证明：∵在平行四边形中，，∴又．且，，又。
2）∵ab=ac=3，∠acm=90°，∴ad=am=，bp=dq=da=，由（1）得dc⊥ab，又dc⊥ca，∴dc⊥面abc，三棱锥q﹣abp的体积
19.（本小题满分12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量数据频数分布表。
使用节水龙头50天的日用水量数据频数分布表。
ⅰ）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频数分布直方图；
ⅱ）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于的概率。
ⅲ）估计家庭使用了节水龙头后，一年节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据都以这组数据所在区间中点的值为代表）
解答】解：（1）根据使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表，作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图，如下图：
2）根据频率分布直方图得：
该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率为：
p=（0.2+1.0+2.6+1）×0.1=0.48．
3）由题意得未使用水龙头50天的日均水量为：
1×0.05+3×0.15+2×0.25+4×0.35+9×0.45+26×0.55+5×0.65）=0.48，使用节水龙头50天的日均用水量为：
1×0.05+5×0.15+13×0.
25+10×0.35+16×0.45+5×0.
55）=0.35，估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省：365×（0.
48﹣0.35）=47.45m3．
20.（本小题满分12分）设抛物线：，点，过点的直线与交于两点，点的坐标为。
（ⅰ）当与轴垂直时，求直线的方程；
（ⅱ）证明。
解析】（1）当l与x轴垂直时，x=2，代入抛物线解得y=±2，所以m（2，2）或m（2，﹣2），直线bm的方程：或．
2）证明：设直线l的方程：，m（x1，y1），n（x2，y2），联立得y2﹣2ty﹣4=0，所以y1+y2=2t，y1y2=﹣4，则有kbn+kbm=
所以直线bn与bm的倾斜角互补，∴∠abm=∠abn．
21.（本小题满分12分）已知函数。
（ⅰ）设是的极值点，求，并求的单调性；
（ⅱ）证明当时，.
解析】（1）．
是的极值点，∴，解得，，∴当0＜x＜2时，，当x＞2时，在（0，2）单调递减，在（2，+∞单调递增．
2）证明：当时，设，则，当0＜x＜1时，，当x＞1时，x=1是的最小值点，故当x＞0时，当时，．
2）选考题：共10分，请考生在题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。
在直角坐标系中，曲线的方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。
ⅰ）求的直角坐标方程；
ⅱ）若与有且仅有三个公共点，求的方程．
解析】（1）∵曲线c2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．
曲线c2直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0，即（x+1）2+y2=4．
2）由于曲线c1的方程为，则：该直线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．
由于该直线与曲线c2的极坐标有且仅有三个公共点．
所以：必有一直线相切，一直线相交．
则：圆心到直线的距离等于半径2，所以或。
解得：或0（舍去）或或0
经检验，直线与曲线c2没有公共点，故c1的方程为：．
23.（本小题满分10分）,选修4—5：不等式选讲。
已知函数。
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