2023年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、设集合，，则（ ）
a、 b、 c、 d、
答案]d [解析]集合a中包含a,b两个元素，集合b中包含b,c,d三个元素，共有a,b,c,d四个元素，所以。
点评]本题旨在考查集合的并集运算，集合问题属于高中数学入门知识，考试时出题难度不大，重点是掌握好课本的基础知识。
2、的展开式中的系数是（ ）
a、21 b、28c、35d、42
答案]a [解析]二项式展开式的通项公式为=，令k=2，则。
点评]高考二项展开式问题题型难度不大，要得到这部分分值，首先需要熟练掌握二项展开式的通项公式，其次需要强化考生的计算能力。
3、交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为，其中甲社区有驾驶员96人。若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数为（ ）
a、101 b、808c、1212d、2012
答案]b [解析]n=
点评]解决分层抽样问题，关键是求出抽样比，此类问题难点要注意是否需要剔除个体。
4、函数的图象可能是（ ）
答案]c [解析]采用特殊值验证法。 函数恒过（1,0），只有c选项符合。
点评]函数大致图像问题，解决方法多样，其中特殊值验证、排除法比较常用，且简单易用。
5、如图，正方形的边长为，延长至，使，连接、则（ ）
a、 b、 c、 d、
答案]b点评]注意恒等式sin2α+cos2α=1的使用，需要用α的的范围决定其正余弦值的正负情况。
6、下列命题正确的是（ ）
a、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行。
b、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行。
c、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行。
d、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行。
答案]c [解析]若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以a错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故b错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故d错；故选项c正确。
点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式。
7、设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）
a、且 b、 c、 d、
答案]d [解析]若使成立，则选项中只有d能保证，故选d.
点评]本题考查的是向量相等条件模相等且方向相同。学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且方向任意。
8、若变量满足约束条件，则的最大值是（ ）
a、12 b、26 c、28 d、33
答案]c [解析]目标函数可以变形为。
做函数的平行线，当其经过点b（4,4）时截距最大时，即z有最大值为=.
点评]解决线性规划题目的常规步骤：
一列（列出约束条件）、
二画（画出可行域）、
三作（作目标函数变形式的平行线）、
四求（求出最优解）.
9、已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为，则（ ）
abcd、答案]b [解析]设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点坐标为（），准线方程为x=,10、如图，半径为的半球的底面圆在平面内，过点作平面的垂线交半球面于点，过圆的直径作平面成角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为，该交线上的一点满足，则、两点间的球面距离为（ ）
a、 bc、 d、
答案]a [解析]以o为原点，分别以ob、oc、oa所在直线为x、y、za
11、方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）
a、28条b、32条c、36条d、48条。
答案]b[ 解析]方程变形得，若表示抛物线，则。
所以，分b=-2,1,2,3四种情况：
1）若b=-2， ;2）若b=2,
以上两种情况下有4条重复，故共有9+5=14条；
同理若b=1，共有9条； 若b=3时，共有9条。
综上，共有14+9+9=32种。
点评]此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的4条抛物线。 列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法。要能熟练运用。
12、设函数，是公差不为0的等差数列，，则（ ）
a、0b、7c、14d、21
答案]d解析]∵是公差不为0的等差数列，且。
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题纸的相应位置上。）
13、函数的定义域是用区间表示）
答案]（）解析]由分母部分的1-2x>0，得到x∈(）
点评]定义域问题属于低档题，只要保证式子有意义即可，相对容易得分。常见考点有：分母不为0；偶次根下的式子大于等于0；对数函数的真数大于0；0的0次方没有意义。
14、如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角的大小是。
答案]90解析]方法一：连接d1m,易得dn⊥a1d1 ,dn⊥d1m,
所以，dn⊥平面a1md1，又a1m平面a1md1，所以，dn⊥a1d1，故夹角为90
方法二：以d为原点，分别以da, dc, dd1为x, y, z轴，建立空间直角坐标系d—xyz.设正方体边长为2，则d（0,0,0），n（0,2,1），m（0,1,0）a1（2,0,2）
故， 所以，cos< =0,故dn⊥d1m，所以夹角为90
点评]异面直线夹角问题通常可以采用两种途径： 第一，把两条异面直线平移到同一平面中借助三角形处理； 第二，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式解决。
15、椭圆为定值，且的的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是___
答案] 解析]根据椭圆定义知：4a=12, 得a=3 , 又。
点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度。突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念。
16、设为正实数，现有下列命题：
若，则；若，则；
若，则；若，则。
其中的真命题有写出所有真命题的编号）
答案] ①解析]若a,b都小于1，则a-b<1
若a,b中至少有一个大于等于1， 则a+b>1,由a2-b2=(a+b)(a-b)=1 ，所以，a-b<1 故①正确。
对于|a3-b3|=|a-b)(a2+ab+b2)|=1，若a,b中至少又一个大于等于1，则a2+ab+b2>1,则|a-b|<1
若a,b都小于1，则|a-b|<1，所以④正确。
综上，真命题有 ①
点评]此类问题考查难度较大，要求对四个备选项都要有正确的认识，需要考生具备扎实的数学基础，平时应多加强这类题的限时性练习。
三、解答题（本大题共6个小题，共74分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。）
17、(本小题满分12分) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和。
ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值；
ⅱ）求系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率。
解析]（1）设：“至少有一个系统不发生故障”为事件c，那么。
1-p（c）=1-p= ，解得p6 分
2）设“系统a在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件d,那么p(d)=
答：检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为。 …12分。
18、(本小题满分12分) 已知函数。
ⅰ）求函数的最小正周期和值域；（ⅱ若，求的值。
解析]（1）由已知，f（x）=
所以f（x）的最小正周期为2，值域为。……6分。
2）由（1）知，f（）=所以cos（）。
所以，……12分。
19、(本小题满分12分) 如图，在三棱锥中，，，点在平面内的射影在上。
ⅰ）求直线与平面所成的角的大小；
ⅱ）求二面角的大小。
解析]（1）连接oc. 由已知，所成的角。
设ab的中点为d，连接pd、cd.
因为ab=bc=ca,所以cdab.
因为等边三角形，不妨设pa=2，则od=1，op=, ab=4.
所以cd=2，oc=.
在rttan6分。
2）过d作de于e，连接ce.
由已知可得，cd平面pab.
据三垂线定理可知，ce⊥pa，所以，.
由（1）知，de=
在rt△cde中，tan
故12分。点评]本题旨在考查线面位置关系和二面角的基础概念，重点考查思维能力和空间想象能力，进一步深化对二面角的平面角的求解。求解二面角平面角的常规步骤：
一找（寻找现成的二面角的平面角）、二作（若没有找到现成的，需要引出辅助线作出二面角的平面角）、三求（有了二面角的平面角后，在三角形中求出该角相应的三角函数值）.
20、(本小题满分12分) 已知数列的前项和为，常数，且对一切正整数都成立。
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