2013·四川卷(文科数学)
1． 设集合a＝，集合b＝，则a∩b＝(
a． b．c． d．
1．b [解析] 集合a与b中公共元素只有2.
2． 一个几何体的三视图如图1－1所示，则该几何体可以是( )
图1－1a．棱柱 b．棱台 c．圆柱 d．圆台。
2．d [解析] 结合三视图原理，可知几何体为圆台．
3． 如图1－2，在复平面内，点a表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )
图1－2a．a b．b
c．c d．d
3．b [解析] 复数与其共轭复数的几何关系是两者表示的点关于x轴对称．
4． 设x∈，集合a是奇数集，集合b是偶数集．若命题p：x∈a，2x∈b，则( )
a．p： x∈a，2x∈b b．p： x a，2x∈b
c．p： x∈a，2x b d．p： x a，2x b
4．c [解析] 注意“全称命题”的否定为“特称命题”．
5．， 抛物线y2＝8x的焦点到直线x－y＝0的距离是( )
a．2 b．2 c. d．1
5．d [解析] 抛物线y2＝8x的焦点为f(2，0)，该点到直线x－y＝0的距离为d＝＝1.
图1－36． 函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)0，－ 的部分图像如图1－3所示，则ω，φ的值分别是( )
a．2，－
b．2，－c．4，－
d．4，6．a [解析] 由半周期＝－＝可知周期t＝π，从而ω＝2，于是f(x)＝2sin(2x＋φ)当x＝时，f＝2，即sin＝1，于是＋φ＝2kπ＋(k∈)，因为－<φ取k＝0，得φ＝－
7．， 某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图1－4所示．以组距为5将数据分组成[0，5)，[5，10)，…30，35)，[35，40]时，所作的频率分布直方图是( )
图1－4图1－5
7．a [解析] 首先注意，组距为5，排除c，d，然后注意到在[0，5)组和[5，10)组中分别只有3和7各一个值，可知排除b.选a.
8． 若变量x，y满足约束条件且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是( )
a．48 b．30
c．24 d．16
8．c [解析] 画出约束条件表示的可行域，如图，由于目标函数z＝5y－x的斜率为，可知在点a(8，0)处，z取得最小值b＝－8，在点b(4，4)处，z取得最大值a＝16.故a－b＝24.
9． 从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点p向x轴作垂线，垂足恰为左焦点f1，a是椭圆与x轴正半轴的交点，b是椭圆与y轴正半轴的交点，且ab∥op(o是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )
a. b.
c. d.
9．c [解析] 由已知，p点坐标为，a(a，0)，b(0，b)，于是由kab＝kop得－＝，整理得b＝c，从而a＝＝c.于是，离心率e＝＝.
10．， 设函数f(x)＝(a∈，e为自然对数的底数)．若存在b∈[0，1]使f(f(b))＝b成立，则a的取值范围是( )
a．[1，e] b．[1，1＋e]
c．[e，1＋e] d．[0，1]
10．a [解析] 易得f(x)在[0，1]上是增函数，对于b∈[0，1]，如果f(b)＝c＞b，则f(f(b))＝f(c)＞f(b)＝c＞b，不可能有f(f(b))＝b；同理，当f(b)＝d＜b时，则f(f(b))＝f(d)＜f(b)＝d＜b，也不可能有f(f(b))＝b；因此必有f(b)＝b，即方程f(x)＝x在[0，1]上有解，即＝x.因为x≥0，两边平方得ex＋x－a＝x2，所以a＝ex－x2＋x.记g(x)＝ex－x2＋x，则g′(x)＝ex－2x＋1.
当x∈时，ex＞0，－2x＋1≥0，故g′(x)＞0.
当x∈时，ex＞＞1，－2x＋1≥－1，故g′(x)＞0，综上，g′(x)在x∈[0，1]上恒大于0，所以g(x)在[0，1]上为增函数，值域为[g(0)，g(1)]，即[1，e]，从而a的取值范围是[1，e]．
11． lg＋lg的值是___
11．1 [解析] lg＋lg＝lg (·lg＝lg 10＝1.
12． 如图1－6，在平行四边形abcd中，对角线ac与bd交于点o，＋＝则。
图1－612．2 [解析] 根据向量运算法则，＋＝2，故λ＝2.
13．（2013四川文） 已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a
3．36 [解析] 由基本不等式性质，f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在4x＝，即x2＝时取得最小值，由于x＞0，a＞0，再根据已知可得＝32，故a＝36.
14．，，设sin 2α＝－sin则tan 2α的值是___
14. [解析] 方法一：由已知sin 2α＝－sin α，即2sin αcos α＝sin α，又α∈，故sin α≠0，于是cos α＝进而sin α＝于是tan α＝所以tan 2α＝＝
方法二：同上得cos α＝又α∈，可得α＝，所以tan 2α＝tan＝.
15．，，在平面直角坐标系内，到点a(1，2)，b(1，5)，c(3，6)，d(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是___
15．(2，4) [解析] 在以a，b，c，d为顶点构成的四边形中，由平面几何知识：三角形两边之和大于第三边，可知当动点落在四边形两条对角线ac，bd交点上时，到四个顶点的距离之和最小．ac所在直线方程为y＝2x，bd所在直线方程为y＝－x＋6，交点坐标为(2，4)，即为所求．
16．， 在等比数列中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列的首项、公比及前n项和．
16．解：设该数列的公比为q，由已知，可得。
a1q－a1＝2，4a1q＝3a1＋a1q2，所以，a1(q－1)＝2，q2－4q＋3＝0，解得q＝3或q＝1.
由于a1(q－1)＝2，因此q＝1不合题意，应舍去．
故公比q＝3，首项a1＝1.
所以，数列的前n项和sn＝.
17．，，在△abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，且cos(a－b)cos b－sin(a－b)sin(a＋c)＝－
1)求sin a的值；
2)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影．
17．解：(1)由cos(a－b)cos b－sin(a－b)sin(a＋c)＝－得cos(a－b)cos b－sin(a－b)sin b＝－.
则cos(a－b＋b)＝－即cos a＝－.
又0(2)由正弦定理，有＝，所以，sin b＝＝.
由题知a>b，则a>b，故b＝.
根据余弦定理，有。
4)2＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1或c＝－7(负值舍去)．
故向量在方向上的投影为||cos b＝.
图1－718．， 某算法的程序框图如图1－7所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．
1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率pi(i＝1，2，3)；
2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1，2，3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计表(部分)
乙的频数统计表(部分)
当n＝2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1，2，3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．
18．解：(1)变量x是在1，2，3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．
当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，故p1＝；
当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，故p2＝；
当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，故p3＝.
所以，输出y的值为1的概率为，输出y的值为2的概率为，输出y的值为3的概率为。
2)当n＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1，2，3)的频率如下：
比较频率趋势与(1)中所求的概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大．
图1－8如图1－8，在三棱柱abc－a1b1c1中，侧棱aa1⊥底面abc，ab＝ac＝2aa1＝2，∠bac＝120°，d，d1分别是线段bc，b1c1的中点，p是线段ad上异于端点的点．
1)在平面abc内，试作出过点p与平面a1bc平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面add1a1；
2)设(1)中的直线l交ac于点q，求三棱锥a1－qc1d的体积．(锥体体积公式：v＝sh，其中s为底面面积，h为高)
19．解：(1)如图，在平面abc内，过点p作直线l∥bc，因为l在平面a1bc外，bc在平面a1bc内，由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面a1bc.
由已知，ab＝ac，d是bc的中点，所以，bc⊥ad，则直线l⊥ad.
因此aa1⊥平面abc，所以aa1⊥直线l.
又因为ad，aa1在平面add1a1内，且ad与aa1相交，所以直线l⊥平面add1a1.
2)过d作de⊥ac于e.
因为aa1⊥平面abc，所以de⊥aa1.
又因为ac，aa1在平面aa1c1c内，且ac与aa1相交，所以de⊥平面aa1c1c.
由ab＝ac＝2，∠bac＝120°，有ad＝1，∠dac＝60°，所以在△acd中，de＝ad＝.
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