一、选择题。
1、设集合a＝，集合b＝，则a∪b＝(
a) (b) (c) (d)
答案】a解析】集合a＝(－1，2)，b＝(1，3)，故a∪b＝(－1，3)，选a
2、设向量a＝(2，4)与向量b＝(x，6)共线，则实数x＝(
a)2b)3c)4d)6
答案】b3、某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )
a)抽签法b)系统抽样法 (c)分层抽样法 (d)随机数法。
答案】c解析】按照各种抽样方法的适用范围可知，应使用分层抽样。选c
4、设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的( )
a)充要条件b)充分不必要条件。
c)必要不充分条件d)既不充分也不必要条件。
答案】a解析】a＞b＞1时，有log2a＞log2b＞0成立，反之也正确。选a
5、下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )
a)y＝sin(2xb)y＝cos(2x＋)
c)y＝sin2x＋cos2xd)y＝sinx＋cosx
答案】b解析】a、b、c的周期都是π，d的周期是2π
但a中，y＝cos2x是偶函数，c中y＝sin(2x＋)是非奇非偶函数。
故正确答案为b
6、执行如图所示的程序框图，输出s的值为( )
ab)cd)
答案】d解析】第四次循环后，k＝5，输出s＝sin＝，选d
7、过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于a、b两点，则|ab
ab)2c)6d)4
答案】d8、某食品的保鲜时间(单位：小时)与储藏温度(单位：℃)满足函数关系(为自然对数的底数，为常数).
若该食品在℃的保鲜时间是小时，在℃的保鲜时间是小时，则该食品在℃的保鲜时间是( )
a)16小时b)20小时c)24小时d)21小时。
答案】c解析】由题意，得。
于是当x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝×192＝24(小时)
9、设实数x，y满足，则xy的最大值为( )
abc)12d)14
答案】a当动点**段ac上时xy取得最大。
此时2x＋y＝10
xy＝(2x·y)≤
当且仅当x＝，y＝5时取等号，对应点落**段ac上。
故最大值为。
选a10、设直线l与抛物线y2＝4x相较于a，b两点，与圆c：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点m，且m为线段ab中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )
a)(1，3b)(1，4c)(2，3d)(2，4)
答案】d二、填空题。
11、设i是虚数单位，则复数。
答案】2i解析】
12、lg0.01＋log216
答案】2解析】lg0.01＋log216＝－2＋4＝2
13、已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是。
答案】－1解析】
由已知可得tanα＝－2
2sinαcosα－cos2α＝
14、在三棱住abc－a1b1c1中，∠bac＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点m，n，p分别是ab，bc，b1c1的中点，则三棱锥p－a1mn的体积是___
答案】15、已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2＋ax(其中a∈r).对于不相等的实数x1，x2，设m＝，n＝，现有如下命题：
对于任意不相等的实数x1，x2，都有m＞0；
对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n＞0；
对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝n；
对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝－n.
其中真命题有写出所有真命题的序号).
答案】①④解析】
对于①，因为f '(x)＝2xln2＞0恒成立，故①正确。
对于②，取a＝－8，即g'(x)＝2x－8，当x1，x2＜4时n＜0，②错误。
对于③，令f '(x)＝g'(x)，即2xln2＝2x＋a
记h(x)＝2xln2－2x，则h'(x)＝2x(ln2)2－2
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．(本小题满分12分)
设数列(n＝1，2，3…)的前n项和sn满足sn＝2an－a3，且a1，a2＋1，a3成等差数列。
ⅰ)求数列的通项公式；
ⅱ)设数列的前n项和为tn，求tn.
解析】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n项和等基础知识，考查运算求解能力。
ⅰ) 由已知sn＝2an－a1，有。
an＝sn－sn－1＝2an－2an－1(n≥2)
即an＝2an－1(n≥2)
从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，又因为a1，a2＋1，a3成等差数列。
即a1＋a3＝2(a2＋1)
所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2
所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列。
故an＝2n.
ⅱ)由(ⅰ)得。
所以tn＝17、(本小题满分12分)
一辆小客车上有5个座位，其座位号为1，2，3，4，5，乘客p1,p2,p3,p4,p5的座位号分别为1，2，3，4，5，他们按照座位号顺序先后上车，乘客p1因身体原因没有坐自己号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位。如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位。
i)若乘客p1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法。下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就坐的座位号填入表中空格处)
ii)若乘客p1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客p1坐到5号座位的概率。
解析】本题主要考查随机事件的概率、古典概型等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法分析和解决问题的能力，考查推理论证能力、应用意识。
i)余下两种坐法如下表所示。
ii)若乘客p1做到了2号座位，其他乘客按规则就坐。
则所有可能坐法可用下表表示为。
于是，所有可能的坐法共8种。
设“乘客p5坐到5号座位”为事件a，则事件a中的基本事件的个数为4
所以p(a)＝
答：乘客p5坐到5号座位的概率为。
18、(本小题满分12分)
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示。
i)请按字母f，g，h标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由)
ii)判断平面beg与平面ach的位置关系。并说明你的结论。
(ⅲ)证明：直线df平面beg
解析】本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力。
i)点f，g，h的位置如图所示。
ii)平面beg∥平面ach.证明如下。
因为abcd－efgh为正方体，所以bc∥fg，bc＝fg
又fg∥eh，fg＝eh，所以bc∥eh，bc＝eh
于是bceh为平行四边形。
所以be∥ch
又ch平面ach，be平面ach，所以be∥平面ach
同理bg∥平面ach
又be∩bg＝b
所以平面beg∥平面ach
ⅲ)连接fh
因为abcd－efgh为正方体，所以dh⊥平面efgh
因为eg平面efgh，所以dh⊥eg
又eg⊥fh，eg∩fh＝o，所以eg⊥平面bfhd
又df平面bfdh，所以df⊥eg
同理df⊥bg
又eg∩bg＝g
所以df⊥平面beg.
19、(本小题满分12分)
已知a、b、c为△abc的内角，tana、tanb是关于方程x2＋px－p＋1＝0(p∈r)两个实根。
ⅰ)求c的大小。
ⅱ)若ab＝3，ac＝，求p的值。
解析】 (由已知，方程x2＋px－p＋1＝0的判别式。
＝(p)2－4(－p＋1)＝3p2＋4p－4≥0
所以p≤－2或p≥
由韦达定理，有tana＋tanb＝－p，tanatanb＝1－p
于是1－tanatanb＝1－(1－p)＝p≠0
从而tan(a＋b)＝
所以tanc＝－tan(a＋b)＝
所以c＝60°
ⅱ)由正弦定理，得。
sinb＝解得b＝45°或b＝135°(舍去)
于是a＝180°－b－c＝75°
则tana＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝
所以p＝－(tana＋tanb)＝－2＋＋1)＝－1－
20、(本小题满分13分)
如图，椭圆e：(a>b>0)的离心率是，点(0，1)在短轴cd上，且＝－1
i)求椭圆e的方程；
ii)设o为坐标原点，过点p的动直线与椭圆交于a、b两点。是否存在常数λ，使得为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由。
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