2023年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（文史类）
第ⅰ卷共10小题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、已知集合，集合为整数集，则（ ）
abc、 d、
2、在“世界读书日”前夕，为了了解某地名居民某天的阅读时间，从中抽取了名居民的阅读时间进行统计分析。在这个问题中，名居民的阅读时间的全体是。
a、总体b、个体。
c、样本的容量d、从总体中抽取的一个样本。
3、为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
a、向左平行移动个单位长度 b、向右平行移动个单位长度。
c、向左平行移动个单位长度 d、向右平行移动个单位长度。
4、某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）锥体体积公式：，其中为底面面积，为高）
abcd、5、若，，则一定有（ ）
ab、cd、
6、执行如图的程序框图，如果输入的，那么输出的的最大值为（ ）a、b、
c、d、
7、已知，，，则下列等式一定成立的是（ ）
abcd、8、如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度等于（ ）
ab、cd、
9、设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（ ）
a、 b、 c、 d、
10、已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）
abcd、第ⅱ卷 （非选择题共100分）
注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所示的答题区域内作答。
作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。
第ⅱ卷共11小题。
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11、双曲线的离心率等于。
12、复数。
13、设是定义在上的周期为的函数，当时，，则。
14、平面向量，，（且与的夹角等于与的夹角，则。
15、以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间。例如，当，时，，。现有如下命题：
设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，
若函数，则有最大值和最小值；
若函数，的定义域相同，且，，则；
若函数（，）有最大值，则。
其中的真命题有写出所有真命题的序号）。
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16、(本小题满分12分)
一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字，，，这三张卡片除标记的数字外完全相同。随机有放回地抽取次，每次抽取张，将抽取的卡片上的数字依次记为，，。
ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足”的概率；
ⅱ）求“抽取的卡片上的数字，，不完全相同”的概率。
17、(本小题满分12分)
已知函数。ⅰ）求的单调递增区间；
ⅱ）若是第二象限角，，求的值。
18、(本小题满分12分)
在如图所示的多面体中，四边形和都为矩形。
ⅰ）若，证明：直线平面；
ⅱ）设，分别是线段，的中点，**段上是否存在一点，使直线平面？请证明你的结论。
19、(本小题满分12分)
设等差数列的公差为，点在函数的图象上（）。
ⅰ）证明：数列为等差数列；
ⅱ）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和。
20、(本小题满分13分)
已知椭圆：（）的左焦点为，离心率为。
ⅰ）求椭圆的标准方程；
ⅱ）设为坐标原点，为直线上一点，过作的垂线交椭圆于，。当四边形是平行四边形时，求四边形的面积。
21、(本小题满分14分)
已知函数，其中，为自然对数的底数。
ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；
ⅱ）若，函数在区间内有零点，证明：。
参***。一、选择题：本题考察基本概念和基本运算。每小题5分，满分50分。
二、填空题：本题考察基础知识和基本运算。每小题5分，满分25分。
三、解答题：共6小题，共75分。
16. 本题主要考察随机事件的概率、古典概型等概念及相关计算，考察应用意识。
解：（ⅰ由题意，所有的可能为：
1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件a，则事件a包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种，所以p(a)＝＝
因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为。
ⅱ）设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件b，则事件包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．
所以。因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为。
17.本题主要考查正弦型函数的性质，二倍角与和差角公式，简单的三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查分类与整合、化归与转化等数学思想。
解：（ⅰ因为函数的单调递增区间为。
由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈z，得－＋≤x≤＋，k∈z，所以函数的单调递增区间为，k∈z.
ⅱ）由已知，得。所以。即。
当时，由是第二象限角，知。
此时， 当时，有。
由是第二象限角，知，此时，
综上所述，或。
18. 本题主要考察空间线面平行和垂直的判定与性质等基础知识，考察空间想象能力、体力论证能力。
解：（ⅰ证明：因为四边形和都是矩形，所以。
因为为平面内的两条相交直线，所以。
因为直线平面，所以。
又由已知，为平面内的两条相交直线，所以平面。
ⅱ）取线段ab的中点m，连接，设为的交点．
由已知，o为的中点．
连接，则分别为△abc，△acc1的中位线，所以。
因此。连接，从而四边形为平行四边形，则。
因为直线平面，平面。
所以直线平面。
即线段上存在一点（线段的中点），使直线平面。
19.本题考查等差数列与等比数列的概念、等差数列与等比数列的通项公式与前项和、倒数的几何意义等基础知识。考查运算求解能力，推理论证能力。
解：（ⅰ证明：由已知得，
当时， 故数列是首项为，公比为的等比数列．
ⅱ）函数在点处的切线方程为，其在轴上的截距为。
由题意知，解得，所以。
于是， 因此，
所以， 20.本题主要考查椭圆的标准方程、直线与方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、转化与化归、分类与整合等数学思想。
解：（ⅰ由已知可得，，所以。
又由，解得，所以椭圆的标准方程是。
ⅱ）设t点的坐标为，则直线的斜率。
当m≠0时，直线pq的斜率kpq＝，直线pq的方程是。
当m＝0时，直线pq的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．
设p(x1，y1)，q(x2，y2)，将直线pq的方程与椭圆c的方程联立，得。
消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，其判别式δ＝16m2＋8(m2＋3)＞0.
所以， 因为四边形optq是平行四边形，所以＝，即(x1，y1)＝(3－x2，m－y2)．
所以。解得。
此时，四边形的面积。
21.本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想，并考查思维的严谨性。
解：（ⅰ由，有。
所以。当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．
当a≤时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增，因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；
当a≥时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0，1]上单调递减，因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；
当＜a＜时，令g′(x)＝0，得x＝ln(2a)∈(0，1)，所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增，于是，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.
综上所述，当a≤时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；
当＜a＜时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b；
当a≥时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.
ⅱ）证明：设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，则由f(0)＝f(x0)＝0可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．
则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负．
故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.
同理g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2.故g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点．
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