2023年普通高等学校招生全国统一考试(新课标卷)
理科数学。第i卷。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。 每小题有且只有一个选项是符合题目要求的。
1. 复数的共轭复数是。
abcd.
2. 下列函数中，既是偶函数又在(0，+)单调递增的函数是。
ab. cd.
3. 执行右面的程序框图，如果输入的是6，那么输出的是。
a. 120b. 720
c. 1440d. 5040
4. 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为。
abcd.
5. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则。
abcd.
6. 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为。
7. 设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于、两点，为的实轴长的2倍，则的离心率为。
abc. 2d. 3
8.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为。
a. －40b. －20c. 20d. 40
9. 由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为。
ab. 4cd. 6
10. 已知与均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题：
其中的真命题是。
abcd.，
11. 设函数(，)的最小正周期为，且，则。
a.在(0，)单调递减b.在(，)单调递减。
c.在(0，)单调递增d.在(，)单调递增。
12. 函数的图像与函数()的图像所有交点的横坐标之和等于。
a. 2b. 4c. 6d. 8
第ii卷。本卷包括必考题和选考题两部分。 第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。 第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 若变量，满足约束条件，则的最小值为。
14. 在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点，在轴上，离心率为。 过的直线交于a、b两点，且△的周长为16，那么的方程为。
15. 已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且，，则棱锥的体积为。
16. 在△中，，，则的最大值为。
三、解答题：本大题共6小题，共70分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (本小题满分12分)
等比数列的各项均为正数，且，.
i)求数列的通项公式；
ii)设…，求数列的前项和。
18. (本小题满分12分)
如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，⊥底面。
i)证明：⊥；
ii)若，求二面角的余弦值。
19. (本小题满分12分)
某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品。 现用两种新配方(分别称为a配方和b配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
i)分别估计用a配方，b配方生产的产品的优质品率；
ii)已知用b配方生产的一件产品的利润(单位：元)与其质量指标值的关系式为。 从用b配方生产的产品中任取一件，其利润记为(单位：
元)，求的分布列及数学期望。 (以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)
20. (本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知点，点在直线上，点满足∥，·m点的轨迹为曲线。
i)求的方程；
ii)为上的动点，为在点处的切线，求点到距离的最小值。
21. (本小题满分12分)
已知函数，曲线在点(1，)处的切线方程为。
i)求，的值；
ii)如果当，且时，，求的取值范围。
22. (本小题满分10分) 选修4—1：几何证明选讲。
如图，，分别为△的边，上的点，且不与△的顶点重合。 已知的长为，的长为，，的长是关于的方程的两个根。
i)证明：，，四点共圆；
ii)若∠，且，，求，，，所在圆的半径。
23. (本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程。
在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线。
i)当求的方程；
ii)在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求。
24. (本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲。
设函数，其中。
i)当时，求不等式的解集；
ii)若不等式的解集为，求的值。
2023年普通高等学校招生全国统一考试(新课标卷)
理科数学参***。
一．选择题。
（1）c （2）b （3）b （4）a （5）b （6）d
（7）b （8）d （9）c （10）a （11）a （12）d
二．填空题。
三．解答题。
17）解：i）设数列的公比为。 由得，所以。
由条件可知，故。
由得，所以。
故数列的通项公式为。
ii） .故，所以数列的前项和为。
18）解：i）因为，，由余弦定理得。
从而，故。
又底面，可得。
所以平面。 故。
ii）如图，以为坐标原点，的长为单位长，射线为轴的正半轴建立空间直角坐标系，则， ，
设平面的法向量为，则。
即。 因此可取。
设平面的法向量为，则，可取。
故二面角的余弦值为。
19）解：i）由试验结果知，用a配方生产的产品中优质品的频率为，所以用a配方生产的产品的优质品率的估计值为。
由试验结果知，用b配方生产的产品中优质品的频率为，所以用b配方生产的产品的优质品率的估计值为。
ii）用b配方生产的100件产品中，其质量指标落入区间，，的频率分别为，，，因此，.
即的分布列为。
则的数学期望。
20）解：i）设，由已知得，.
所以，，.再由题意可知，即。
所以曲线的方程为。
ii）设为曲线上一点，因为，所以的斜率为。
因此直线的方程为，即。
则点到的距离。 又，所以。
当时取等号，所以点到的距离的最小值为。
21）解：i）
由于直线的斜率为，且过点，故即。
解得，. ii）由（i）知，所以。
考虑函数，则。
i）设，由知，当时，. 而，故当时，，可得；
当时，，可得。
从而当，且时，，即。
ii）设，由于当时，，故，而，故当时，，可得，与题设矛盾。
iii）设，此时，而，故当时，，得，与题设矛盾。
综合得，的取值范围为。
22）解：i）连结，根据题意在和中，即。 又，从而∽.
因此。 所以，，，四点共圆。
ii），时，方程的两根为，.
故，. 取的中点，的中点，分别过，作，的垂线，两垂线相交于点，连结。 因为，，，四点共圆，所以，，，四点所在圆的圆心为，半径为。
由于，故，，从而，.
故，，，四点所在圆的半径为。
23）解：i）设，则由条件知，由于点在上，所以。
即。 从而的参数方程为(为参数).
ii)曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。
射线与的交点的极径为，射线与的交点的极径为，所以。
24）解：i）当时，可化为。
由此可得或，故不等式的解集为或。
ii）由得。
此不等式化为不等式组。
或即或。 由于，所以不等式组的解集为。
由题设可得，故。
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