高等数学。第一章函数、极限、连续。
一、重、难点内容归纳。
1. 函数概念、性质。
1） 会讨论分段函数在“接头点”处极限、连续、导数、积分。
2） 会求分段函数的复合函数。
3） 熟悉函数的性态——单调性，奇偶性，周期性，有界性。
2. 极限。
1） 熟悉应用“保号性定理”。
2） 熟练求极限的方法（特别要注意运用方法的条件、技巧。易出错的地方）。
3. 会讨论函数的连续性与间断性。
1） 分段函数在“接头点”处的连续性的讨论。
2） 明确函数间断性的讨论是指：① 求出全部间断点； ②指出间断点的类型。
4. 熟悉连续函数在闭区间上的性质。
1） 熟练应用“零点定理，介值定理，最值定理”。
2） 会讨论方程的根（① 根的存在性，唯一性； ②根的个数的确定）。
二、方法、技巧、题型。
例1 分段函数的复合。
例1.1> 设，求。
答： 例1.2> 设，求。
答： 或， ）
例2 函数性态。
单调性 《例2.1> 求（答：）.
《例2.2> 设连续且单调增。求证：.
《例2.3> 设有，证明：
单调增。奇偶性 《例2.4> 设连续，时，那么。
1） 若为奇函数，证明为奇函数。
2） 若单调增，证明为单调减。
《例2.5> 为奇函数，当时，. 那么当时，是。
ab) cd)
周期性 《例2.6> 求（答：）.
《例2.7> 求（答：）.
《例2.8> 求（答：）.
《例2.9> 设是周期为的连续的奇函数。.
问的周期为吗？ （答： 是）
有界性 《例2.10> 当时，是 .
a) 无穷大量b) 无穷小量。
(c) 无界量d) 有界量非无穷小量。
《例2.11> 若，那么在一下的有界区间是。
a) (b) (c) (d)
例3 极限。
保号性 《例3.1> 设在的邻域连续，且，试讨。
论在处的极值。
例3.2> 设在连续，..求证：使。
《例3.3> 设连续，，那么在处是。
a) 极小值 (b) 极大值 (c)是拐点 (d) 不确定。
《例3.4> 设连续，，那么是。
求极限方法、技巧、题型。
《例3.5>1) 求。
4) 设。求。 （答： 6）
5) 存在，且。求， (答：)
7) （答： 原式）
例3.6>
1) 若。其中表示的最小整数。求。 （答： ）
2) 可导，求。 （答：）
3) 设二阶可导，，求。 （答： 1）
4) 设二阶可导，求。 （答：）
5) 求。 （答： 0）
6) 求。 （答：）
7) 求。 （答：）
8) ，求。 （答： 36）
9) 求。 （答： ）
10) 求。 （答： 1）
例3.7>
1) 当时，与是等价无穷小，求。 （答：）
2)在全部域有连续二阶导数。且。求。 （答：）
例3.8> 若，求。 （答： 1）
例3.9> 若，求。 （答： 2）
例1. 若，求。 （答：）
例2. 若，求。 （答：
例3.10> 确定系数。
1） 若，求。 （答：）
2） 若，求。 （答：）
3） 若，求。 （答：）
4） 若，且在连续。则。
ab) cd)
5） 若，且是的同阶无穷小，则。
例4 单连续（间断性）
例4.1> 二阶可导，.
1） 确定的值，使在连续。
2） 问连续吗？
例4.2> 设。
1） 如果在连续，则。
2） 如果在可导，则。
3） 如果在连续，则。
例4.3> 设和在内有定义，为连续函数，且有间断点，则。
a)必有间断点b)必有间断点
c)必有间断点d)必有间断点。
例4.4> 设，试讨论的间断性。
例5 介值定理，零点定理，方程的根。
例5.1> 在连续，.求证：使。
例5.2> 设在可导，，且。求证：有且仅有一根。
例5.3> 设。求证：在上有且仅有一根。
例5.4> ，试证明：有且仅有3个根。
第二章导数及其应用。
一、重、难点内容归纳。
1. 导数、微分概念。
1） 熟练掌握导数定义（两种形式）。
2） 熟悉导数的几何意义、会求曲线的“切线、法线”方程。
2. 导数计算。
1） 熟练掌握“导数定义”求导数。
2） 复合函数、隐函数、参数方程求导。
3） 会求高阶导数。
3. 导数的应用。
熟练应用导数“求证不等式，讨论极值，凹向，渐近线，中值定理，方程根的讨论”。
二、方法、技巧、题型。
例1 可导性，连续性的讨论。
例1.1> 二阶可导，，.问连续吗？
例1.2> 设，则在处可导的充要条件是。
a)存在b)存在。
c) 存在d)存在。
例1.3> 设。试确定为何值 ① 使在连续； ②在可导； ③在连续。
例2 导数计算。
例2.1> 设，试证。
例2.2> 证明：星形线上任意点处的切线在两坐标轴间的长度为常数。
例2.3> 设连续。求。
例2.4> .求。
例2.5> 有。
1） 证明可导； 2） 求。
例2.6> 试证的微分方程。交换为的微分方程。 （答：）
例2.7> 求上在处的切线方程和法线方程（答：切线，法线）.
例3 应用。
1. 证明不等式。
例3.1> 求证：.
例3.2> 求证：.
例3.3> 试比较与的大小。
2. 极值。
例3.4> 在邻域连续，且。试讨论在处的极值。
例3.5> 的二阶导数连续，且。
1） 若是极值点，求证：是的极小值点。
2） 若是极值点，问是极大值点还是极小值点？
例3.6> 二阶可导。且。试讨论在处的极值。
3. 渐近线。
例3.7> 求为水平、垂直渐近线。
例3.8> 求的斜渐近线。
4. 中值定理。
例3.9> 在连续，上可导，且。求证：使。
例3.10> 在连续，上可导，且。求证：使。
例3.11> 在连续，可导，且。求证：使，（为常数）.
例3.12> 在连续，可导，且。求证：使。
例3.13> 在连续，可导，且。求证：使。
例3.14> 在连续，可导，.求证：使。
例3.15> 在连续，可导，且。求证：1） 证明：使。
2） 证明：使。
例3.16> 利用罗尔定理证明：在上有根。
例3.17> 在连续，可导，求证：使。
例3.18> 在上连续，上可导，且。求证：使。
例3.19> 设二阶可导，且，且。
1） 证明：.
2）使。例3.20> 在连续，可导，且。求证：使。
例3.21> 在二阶可导，且。
1） 证明：使。
2） 使。例3.22> 在连续，可导，且。求证：使。
例3.23> 在连续，可导，且。求证：使。
例3.24> 在上二阶可导，，求证：使。
例3.25> 在三阶可导，，求证：使。
例3.26> 在上三阶导数连续，且，求证：至少存在使。
5. 讨论方程根。
例3.27> 证明：有且仅有3个根。
例3.28> 根的个数是。
(a) 无实根 (b) 有且仅有一个根 (c) 有且仅有2个根 (d) 不能确定。
例3.29> 确定的值，使有3个不同的根。
例3.30> 方程有2个不同的根。那么的取值的可能是。
(a) 2b) 4c) 6d) 8
例3.31> 的实根个数是。
第三章一元函数积分学。
一、重、难点内容归纳。
1. 不定积分。
1） 一个概念——原函数。
2） 积分法（换元法，分部积分法，常用例题）
2. 定积分。
1） 概念（定义，存在条件，几何意义，性质）
2） 计算原理（牛-莱公式）
3） 积分法（换元法，分部积分法，常用例题）
4) 变上限积分及变上限求导。
5） 广义积分（无限区间，无界函数）
① 定义 ② 判别法 ③ 常用例题。
6） 定积分应用（原理——微元法，几何上、物理上应用）
二、方法、技巧、题型。
1. 不定积分。
例1.1> 求不定积分。
例1.2> 原函数，含绝对值的不定积分。
1） 若，求。
2）若是的一个原函数，求。
3） 设，且，求。
4） 若，求及。
5） 求。2. 定积分。
1） 定义、性质。
例2.1> 是奇函数，除外均连续，且是第一类间断点。那么是 .
a) 奇函数，连续b) 奇函数，可导。
c) 偶函数，连续d) 偶函数，可导。
例2.2> 试求①；
例2.3> 求。
例2.4> ，求证：.
例2.5> ①若，求。
若，求。 若，求。
3. 定积分的计算。
例2.6> 基本题。
5） 6） 求，其中。
7），其中。
例2.7> 含绝对值。
3）求，并求。
4） 设是正的连续函数，.证明： 在上的曲线是凹的。
例2.8> 变上限求导。
1），求。2） 求证：.
3） 设连续，且，求。
4） 设连续，且，求。
5) 求证：
6) 设在连续，均有。
求。 （答：）
7)连续，且。
.求。 （答：）
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