领航考研。
数学导学班辅导讲义。
一、须使用数学一的招生专业。
大部分工科专业，比如：力学、机械工程、电气工程、信息与通信工程、控制科学与工程、土木工程、测绘科学与技术、交通运输工程、船舶与海洋工程等等。
二、须使用数学二的招生专业。
工学门类中的轻工技术与工程、农业工程、林业工程、食品科学与工程等专业。
三、须使用数学三的招生专业。
经济、管理类的专业，工商管理、农林经济管理。
考研数学试题要求以中等偏上题为主，考试及格率控制在30-40%，平均分（满分150分）控制在75分左右。
考研公共课数学试题结构与分值（满分150）
说明：1、单选8小题，4分/题，共计32分；
2、填空6小题，4分/题，共计24分；
3、解答题（包括证明题）9小题，共计94分。
通过对全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲的考试内容和考试要求以及考研数学历年真题分析，考研数学的重点和难点总结如下：
高等数学部分：
函数、极限、连续部分，两个重要极限，未定式的极限，主要的等价无穷小，，还有极限存在性的问题和间断点的判断以及它的分类，这些在历年真题当**现的概率比较高，属于重点内容，但很基础，不是难点，因此这部分内容一定不要丢分。
微分学的部分我们主要还是要掌握一元函数微分学，多元函数微分学考也是考的，但是它的重点还是在一元函数微分学。
一、一元函数微分学需要掌握这几个关系：连续性、可导性、可微性的关系，另外要掌握各种函数求导数的方法，特别注意一元函数的应用问题，这是一个考试的重点。一元函数微分学的涉及面很广，题型非常多，比如说中值定理部分，中值定理部分可以出各种各样构造辅助函数的证明，包括等式和不等式的证明，零点问题，以及极值和凹凸性。
二、对于多元函数微分学，要掌握几大性质之间的关系，连续性、偏导性和可微性以及一阶连续可偏导的关系，这几个关系一定要搞得很清楚。另外一个就是各种函数求偏导的方法，要分类。还有就是关于多元函数微分学的应用，主要是要注重条件极值，最值问题。
三、积分学部分我们首先要掌握的第一个重点是不定积分和定积分的基本计算、基本计算类型。这个对有些同学来说可能不难，但是想要拿到满分的话还要有一定的基础，尤其要强调一定的计算能力。那么如何使用定积分性质去解决问题这里包含定积分的奇偶性、周期性、单调性以及在特定区间上三角函数定积分的性质。
另外定积分的应用是一个重点，主要考虑面积问题、体积问题及跟微分方程相结合的问题。对于要考数学一的考生来说，这个曲线和曲面积分的部分主要掌握格林公式和高斯公式以及曲线积分与路径无关的条件。
四、微分方程与差分方程。差分方程只对数三考生要求，但不是重点。我们在这里讲两个重点，一个重点就是一阶线性微分方程；第二个就是二阶常系数齐次/非齐次线性微分方程。
注：空间解析几何部分，这个只对考数一的同学要求，不是重点。
五、级数问题要掌握两个重点：一、常数项级数性质问题 ，尤其是如何判断级数的敛散性，二、幂级数，大家要熟练掌握幂级数的收敛区间、收敛半径、和函数以及幂级数的展开问题。
第一节函数及其特性。
函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。它们是每年必考的内容之一。
考点分析】按照考试大纲的要求，函数部分主要考查：函数的四个常见性态——奇偶性、单调性、周期性、有界性与函数的两种运算——复合运算和反函数运算。在历年的试题中，既有单纯考查函数有关知识的题目，也有许多把函数有关知识融汇于其他内容当中的综合性题目。
题型以填空题和选择题为主。
一、函数的奇偶性。
设函数的定义域为，若对于任，都有，称为偶函数；若对于任都有，称为奇函数。偶函数的图形关于轴对称，奇函数的图形关于坐标原点对称。
考点一】判别给定函数的奇偶性的主要方法是：不管的具体形式是什么，均计算的值。如果，则由定义知为偶函数；如果，则由定义知为奇函数。
例1】判别下列函数的奇偶性：
考点二】设二阶可导，则有：
1） 若为奇函数，则为偶函数，为奇函数，且。
简单地说，可导的奇函数的导数为偶函数。
2） 若为偶函数，则为奇函数，为偶函数，且。
简单地说，可导的偶函数的导数为奇函数。
例2（1997数学。
三、四）】若在内且，则在内有( c )
a） （b）
c） （d）
二、函数的周期性。
对函数，若存在常数，使得对于定义域的每一个，仍在定义域内，且有，则称函数为周期函数，t称为的周期。
考点三】判断函数是否为周期函数，主要方法是根据周期函数的定义，要先找到一个非零常数，计算是否有等式成立。而对于抽象的周期函数，其周期一定与已知条件中所给的参数或常数有关，是其二倍、三倍。
例3】设对任何存在常数。证明是周期函数。
例4】设，则在内，（
a) 是周期函数，周期为 (b) 是周期函数，周期为。
c) 是周期函数，周期为 (d) 不是周期函数。
例5】设在上有定义，且恒有关系式。
成立，其中为正实数，证明是周期函数。
考点四】可导的周期函数的导函数是具有相同周期的周期函数。也就是说，如果函数f(x)二阶可导，且有，则，例6】设函数具有二阶导数，并满足且若则（ ）
a) (b)
c) (d)
三、函数的有界性。
设函数在数集x上有定义，若存在正数m，使得对于每一个，都有成立，称在x上有界，否则，即这样的m不存在，称在x上无界。
考点五】（1）无界变量与无穷大量的区别：无穷大量一定是无界变量，但无界变量不一定是无穷大量。
2）非零的有界变量与无穷大量的乘积是无界变量，但不是无穷大量。
评注】(1) 无界变量与有界变量是函数有界性的正反两个方面。
2）用无穷大量的定义和无界变量的定义来区别这两个概念。
是指，在x=x0处的充分小邻域内，对于所有的都可以任意大，而“无界”不要求“所有的”。
例7】当时，变量是（ ）
a）无穷小b）无穷大。
c）有界的，但不是无穷小量。 （d）无界的，但不是无穷大。
例8】设数列，则下列断言正确的是（ ）
（a）若发散，则必发散 （b）若无界，则必有界。
c）若有界，则必为无穷小 （d）若为无穷小，则必为无穷小
四、函数的单调性。
设函数在区间上有定义，若对于上任意两点与且时，均有 ，则称函数在区间上单调增加（或单调减少）。如果其中的“≤”或“≥”改为“<”或“>”称函数在上严格单调增加（或严格单调减少）。
设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，若对任一，有在[a,b]上单调增加（减少）。
注意： 若将上面的不等式的点（驻点）只有有限个，则结论仍成立。
考点六】（1）判断抽象的函数的单调性，在考试时采用举反例排除法，而尽量不用单调性的定义进行证明；
2）导数大于零的函数一定单调递增，但单调递增的可导函数的导数不一定严格大于零，其导数也可能等于零。
例9】设f(x)在内可导，且对任意，当时，都有，则。
（a） 对任意 （b）对任意。
（c）函数单调增加 （d）函数单调增加 .
第二节数列的极限。
考点分析】数列极限的考点主要包括：定义的理解，极限运算法则的理解，单调有界准则和夹逼准则求极限，利用定积分的定义求和式的极限等等。
一、数列的极限。
1．数列的极限。
无穷多个数按一定顺序排成一列：称为数列，记为数列称为数列的一般项或通项。
设有数列和常数a。若对任意给定的，总存在自然数，当n>n时，恒有，则称常数a为数列的极限，或称数列收敛于a，记为。没有极限的数列称为发散数列。
收敛数列必为有界数列，其极限存在且唯一。
2．极限存在准则。
1）定理1.1.4（夹逼定理）设在的某空心邻域内恒有，且有， 则极限存在，且等于a .
注对其他极限过程及数列极限，有类似结论。
2）定理：单调有界数列必有极限。
3．重要结论：（1）若，则，其中为任意常数。
考点七】(1) 单调有界数列必有极限。
2) 单调递增且有上界的数列必有极限，单调递增且无上界的数列的极限为。
3）单调递减且有下界的数列必有极限，单调递减且无下界的数列的极限为。
评注】（1）在应用【考点七】进行证明时，有些题目中关于单调性与有界性的证明有先后次序之分，需要及时进行调整证明次序。
2）判定数列的单调性主要有三种方法：
计算。 若，则单调递增；若，则单调递减。
当时，计算。 若，则单调递增；若，则单调递减。
令，将n改为x，得到函数。若可导，则当时，单调递增；当时，单调递减。
例1】(1) (武汉大学，2023年)设，，,证明：收敛，并求其极限。
2) （中国科学院，2023年）设（n>1），，则 .
例2】（1）证明：对任意的正整数n，都有成立。
2）设，证明数列收敛。
考点八】（夹逼准则）设有正整数，当时，，且。
则。评注】在使用夹逼准则时，需要对通项进行“缩小”和“放大”，要注意：“缩小”应该是尽可能地大，而“放大”应该是尽可能地小，在这种情况下，如果仍然“夹”不住，那么就说明夹逼准则不适用于这个题目，要改用其他方法。
例3】求下列极限：
例4】设（），求。
第三节函数的极限。
考点分析】函数极限的考点主要包括：用洛必达法则求未定式的极限，由已知极限求未知极限，极限中的参数问题，无穷小量阶的比较等等。
考点九】也就是说，函数极限存在且等于a的充分必要条件是，左极限与右极限都存在，并且都等于a。
评注】在求极限时，如果函数中包含或项，则立即讨论左右极限和，再根据【考点九】判断双侧极限是否存在。
例1】当时，函数的极限（ ）
（a）等于2. （b）等于0. （c）为 （d）不存在但不为。
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