考研数学讲座（74）经典概型学重点。
如果样本空间只有有限个基本点，且每个基本事件发生的概率相同，则定义事件a发生的概率
p(a) =a所含基本点(有利点)数∕基本点总数。
这样定义的概率称为古典概率。相应的模型称为古典概型。
经典概率模型资料浩如烟海，思维处理方法千姿百态。学习时要着眼应用，熟悉典型。
1. 抛球模型 ——把 n 个小球等可能地投入n个（n≤n）空盒中，每个球的落点有n个结果。基本点总数为 n的 n 次方。
1） 若 a =“n个小球恰好都落在一个指定的盒中” ，则显然有
p(a) =1∕n的n次方
2） 若 a =“n个小球恰好各在一个盒中” ，先取n个（n≤n）空盒中的任意 n 个盒，再考虑排序，则有利点数为 （n个中取n个的组合数）× n！
p(a) =m个中取n个的组合数）× n！∕m的n次方。
3) 若 a =“n个小球恰好全在一个盒中” ，则有利点数为n ，
p(a) =1∕n的n－1次方。
(4) 若 a =“至少有两个小球在一个盒中”，则情形复杂，难以穷尽。但仔细对比，它正好是 “n个小球恰好各在一个盒中”的逆事件。
小球的分布，可以设定很多状态。有的概率很难算。用不着去钻牛角尖。要的是体会与捉摸经典概率模型的思维方式。
应用例1 ——一间寝室住有6个学生。他们都在同一年生。求他们的生日恰好在同一个月内的概率。
分析这就好比6个小球随机地抛到12个盒中。a =“6个小球恰好全在一个盒中”，基本点总数为 “12的6次方” ，p(a) =1∕12的5次方 ≈ 0.000004
潜台词：小小概率事件。）
应用例2 ——历史资料统计，某地区每年夏季的13周内平均有7次暴雨灾害天气。试计算事件a =“暴雨灾害天气各在一个周内”的概率。
分析一次暴雨就是一个小球，共有13个盒。
p(a) =13个中取7个的组合数）× 7！∕13的7次方 ≈ 0.135
p(aˉ) 0.865 ，aˉ =至少有两次暴雨灾害天气发生在同一周内”
潜台词：真是“祸不单行”啊！）
某公交线路有11个站。n个乘客来起点站乘车，每个乘客的下车点是随机的。如果设中途无人上车，……这也服从抛球模型。
电梯公寓有11层。n个外来客从底楼乘电梯，每个乘客要到的楼层是随机的。如果设中途无人用电梯，……这还是服从抛球模型。比如。
‘a = 至少有两个人在同一层离开电梯’等同于‘a = 至少有两个小球在一个盒中’。”
2．贝努里概型。
如果在重复，又相互独立的n次试验中，（“独立试验”，即试验结果互不影响。）每个试验都只有事件 a发生（成功）与不发生（失败）两个结果，且总有 p(a) =p ，就称其为贝努利试验序列，相应数学模型称为 n 重贝努利概型。
记事件 bk = n 重贝努里概型中，a 发生 k 次”，则。
p(bk) =n个中取k个的组合数）（p的k次方）（q的n－k次方），用随机变量x表示n重贝努里概型中的成功次数，它会有值 x = 0，1，2，--n ；且对应有分布列 p（x= k）= b（k ；n，p）= p(bk)，这个离散型随机模型叫二项分布。
换一个角度来看抛球模型的（1）。
观察小球落进指定的一个盒的概率分布，相当于向这个指定的盒抛球n次，要么抛入（成功），概率总是1∕n ；要么失败。n次抛球相互独立。可以视为一个n重贝努里概型。
记 a =“n重贝努里概型中成功n次”，则。
p（a）= p(x = n) =b（n ；n，1∕n）= 1∕n的n次方。
例12 某公交线路共有11个站。深夜末班车有20人从起点站上车。设沿途10站再没有人上车。
有人下车就停车开门，无人下车则继续行驶。设乘客下车与否相互独立。试求此客车沿途停车开门k次的概率。
分析对于线路上一个固定的站，每个乘客下车的概率都是1∕10 ，乘客下车与否相互独立，因而是个20重贝努里概型。
p（无人下车）= b（0；20，1∕10）= 9∕10)的20次方。
于是记p =）p（有人下车）= 1－(9∕10)的20次方。
每个站都是如此，停车开门的概率为p ；各站开门与否相互独立。这又构成一个10重贝努里概型。停车开门（成功）k次的概率为 b（k ；10 ，p），不再细表。
3．摸球模型与超几何分布——
袋中装有红球m个，黑球n个，从袋中随机摸出r = s+t个球，基本点总数为（m+n）个中取 r 个的组合数。记 a =“其中有s个红球，t个黑球”，则。
p(a) =m个中取s个的组合数）×（n个中取t个的组合数）∕基本点总数。
如果袋中有三种或三种以上颜色的球，相应问题可以类似处理。
应用如 ——如果平均1000件产品中有5件次品。随机抽查10件，求a =“内中恰有一件次品”的概率。
分析基本点总数为1000个中取10个的组合数。
p(a) =995个中取9个的组合数）×（5个中取1个的组合数）∕基本点总数。
例13 从0，1，2，……9共十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：
a1 =“三个数字中不含0和5” ，a2 =“三个数字中不含0或5”,a3 =“三个数字中含0但不含5
分析只“选出”三个数字而不排序，是组合问题。把十个数字分成集合与另外一个集合，三个概率都可以用“超几何分布”模型来计算。
基本点总数为 10取3的组合数 = 120
a1的有利点数 = 8取3的组合数 ， p（a1）= 7/15
a2的说法应理解为包含“不含0和5”的情形。其逆事件为“必定含0和5”
有利点数 = 8取3的组合数 +（8取2的组合数）（2取1的组合数） ，p（a2）= 14/15
a3的有利点数 = 8取2的组合数 ， p（a3）= 7/30
例14 从6双运动鞋中随意拿出4只，分别求 a =“其中恰有一双配对”；
b =“恰好配成两双c =“没有两只可以配对”的概率。
分析相当于“袋中有6种颜色的球”。基本点总数为 12取4的组合数 = 495
事件a取样中的那双鞋，是6双中的任意一双，单的分别来自余下5双中的任意两双。
a的有利点数= 6×（5取2的组合数）×2×2 = 60 p(a) =16∕33
显然 p(b) =6取2的组合数）∕495 = 1∕33
三个事件已穷尽了各种可能。最后有 p(c) =1－p(a) －p(b) =16∕33
潜台词：不妨检验一下， 事件c的有利点数=（6取4的组合数）×2×2×2×2 ）
4．几何概率。
如果样本空间 ω 是某个区域（区间，平面区域或空间区域），且每个样本点出现的可能性相同，则规定a的概率为 p（a）= l（a）/ l（ω）
其中， l ( 分别是相应的长度，或面积，或体积。
例16 在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 6/5”的概率为___
分析用x和y分别表示随机抽取的两个数，则0 < x < 1，0 < y <1，x，y取值的所有可能结果（即样本点全体）对应的集合是边长为1的正方形ω，其面积为1
直线 x+y = 6/5 与单位正方形的边周交于（1，1/5）与（1/5，1）两点，分其为两块。
事件“x+y≤6/5 ”对应着单位正方形除去以(1，1)，（1，1/5），（1/5，1）为顶点的三角形后剩余的部分。易算得a的面积即所求概率为17/25
例17 在时间间隔内的任何瞬间 ，两个不相关的信号均等可能地进入收音机。如果两个信号当且仅当其进入收音机的时间间隔不大于 t 时，就使收音机受到干扰，求收音机受到干扰的概率。 （答案 p = 1－（1－t/t））
分析用x和y分别表示两个不相关的信号进入收音机的时间，则 0 < x < t ，0 < y < t
收音机受到干扰”事件可以表示为“∣x－y∣≤ t ”，视 t 为常数，与上例为同一模型。
经典模型，重在熟练不在多。熟能生巧，巧在理解与应用。
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