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第三章微分中值定理与导数的应用。
3.1 微分中值定理。
a 基本内容。
一、罗尔定理。
设函数满足。
（1）在闭区间上连续；
（2）在开区间内可导；
则存在，使得。
几何意义：条件（1）说明曲线在和之间是连续曲线；
条件（2）说明曲线在之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于轴的切线
条件（3）说明曲线在端点和处纵坐标相等。
结论说明曲线在点和点之间[不包括点和点]至少有一点，它的切线平行于轴。
二、拉格朗日中值定理。
设函数满足。
（1）在闭区间上连续；
（2）在开区间内可导；
则存在，使得
或写成 有时也写成
这里相当或都可以，可正可负。
几何意义：条件（1）说明曲线在点和点之间是连续曲线；
条件（2）说明曲线是光滑曲线。
结论说明曲线在之间至少有一点，它的切线与割线是平行的。
推论1．若在内可导，且，则在内为常数。
推论2．若，在内皆可导，且，则在内，其中为一个常数。
三、柯西中值定理。
设函数和满足：
（1）在闭区间上皆连续；
（2）在开区间内皆可导；且。
则存在使得
几何意义：考虑曲线的参数方程点，点曲线在上是连续曲线，除端点外是光滑曲线，那么在曲线上至少有一点，它的切线平行于割线。
值得注意：在数学理论上，拉格朗日中值定理最重要，有时也称为微分学基本定理。罗尔定理看作拉格朗日中值定理的预备定理，柯西中值定理虽然更广，但用得不太多。
在考研数学命题中，用罗尔定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是较少。
四、泰勒定理（泰勒公式）
定理1．（皮亚诺余项的阶泰勒公式）
设在含的开区间内有阶导数，则有公式。
其中称为皮亚诺余项。
对常用的初等函数如和（为实常数）的阶泰勒公式都要熟记。
定理2（拉格朗日余项的阶泰勒公式）
设在包含的区间内有阶导数，则有公式。
其中，（在与之间）
称为拉格朗日余项。
上面展开式称为以为中心的阶泰勒公式。当时，也称为阶麦克劳林公式。
如果，那么泰勒公式就转化为泰勒级数，这在后面无穷级数中再讨论。
b典型例题。
一、用罗尔定理的有关方法。
1、证明：或。
方法：对或使用罗尔定理。
2、证明：
方法：构造辅助函数，且，再用罗尔定理。
1)积分法(原函数法)通过观察得。
将换成得。恒等变形，便于积分。
积分，分离变量得。
2)公式法：若欲证等式可变形为：，则应取辅助函数为。
3) 经验法：条件中有定积分，则辅助函数为被积函数。
例1、设，证明多项式在内至少有一个零点。
例2、设在上连续，在内可导，且，试证：必存在，使。
例3、设在上连续，在内可导，且，证明：必存在使。
二、用拉格朗日中值定理和柯西中值定理的有关方法。
1、用拉格朗日中值定理的有关方法。
例1．设，试证。
例2、设不恒为常数的函数在上连续，内可导，且，证明内至少有一点，使得。
2、用柯西中值定理的有关方法。
例、设在上连续，在内可导，证明：必存在使。
考研数学高数公式 导数与微分
第二章 导数与微分。一元函数微分学是微积分的基本内容之一，在考试中占有较大的比重，一元函数求导的法则同时也是二元函数求导的基础。与导数有关的命题总体难度偏低，容易导致丢分的知识点是导数的定义，而从近几年的考卷看，对导数的考查越来越倾向于定义，因此考生对这方面应该有足够的重视。复习时需要多练习利用定义...
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2019考研数学大纲专题解析之中值定理
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