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3.2 导数的应用。
a 基本内容。
一、洛必达法则：
若 1）2）、在点的某去心邻域内可导，且。
则。注：如果不存在且不是无穷大量情形，则不能得出不存在且不是无穷大量情形）
二、判断函数的单调性。
定理：设函数在内可导，如果恒有则在内单调增加（单调减少）；如果恒有，则在内单调不减（单调不增）。
基本应用模型：设在内连续，在内可导，且，又，则当时，恒有。
三、函数的极值。
1、定义：设函数在内有定义，是内的某一点，则。
如果点存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点，总有，则称为函数的一个极大值，称为函数的一个极大值点；
如果点存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点，总有，则称为函数的一个极小值，称为函数的一个极小值点。
2、必要条件。
设函数在处可导，且为的一个极值点，则。
我们称满足的为的驻点可导函数的极值点一定是驻点，反之不然。
极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。
3、第一充分条件。
设在处连续，在内可导，不存在，或。
如果在内的任一点处，有，而在内的任一点处，有，则为极大值，为极大值点；
如果在内的任一点处，有，而在内的任一点处，有，则为极小值，为极小值点；
如果在内与内的任一点处，的符号相同，那么不是极值，不是极值点。
4、第二充分条件。
设函数在处有二阶导数，且，，则。
当时，为极大值，为极大值点。
当时，为极小值，为极小值点。
四、函数的最大值和最小值。
1、求函数在上的最大值和最小值的方法。
首先，求出在内所有驻点和不可导点，其次计算。
最后，比较，其中最大者就是在上的最大值；其中最小者就是在上的最小值。
2、最大（小）值的应用问题。
首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间，然后再求出目标函数在区间内的最大（小）值。
结论：函数在某一区间存在唯一极值点，则该极值点是函数在该区间的最值点。
五、凹凸性与拐点。
1、凹凸性的定义。
设在区间上连续，若对任意不同的两点，恒有。
则称在上是凸（凹）的。
在几何上，曲线上任意两点的割线在曲线下（上）面，则是凸（凹）的；如果曲线有切线的话，每一点的切线都在曲线之上（下）则是凸（凹）的。
2、拐点的定义。
曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。
3、凹凸性的判别和拐点的求法。
设函数在内具有二阶导数，如果在内的每一点，恒有，则曲线在内是凹的；
如果在内的每一点，恒有，则曲线在内是凸的。
求曲线的拐点的方法步骤是：
第一步：求出二阶导数；
第二步：求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点、、…
第三步：对于以上的连续点，检验各点两边二阶导数的符号，如果符号不同，该点就是拐点的横坐标；
第四步：求出拐点的纵坐标。
六、渐近线的求法。
1、垂直渐近线。
若或。则为曲线的一条垂直渐近线。
2、水平渐近线。
若，或。则是曲线的一条水平渐近线。
3、斜渐近线。
若， 或，
则是曲线的一条斜渐近线。
b 典型例题。
一、利用罗必达法则求极限。
1、“”型和“”型。
例1．求。例2、求。
2、“”型和“”型。
例1、求。例2、求。
例3、求。3、“”型，“”型和“”型。
这类都是形式，可化为。
而都是“”型，按2的情形处理。
例1、求。例1、 求。
例3、求。二、判别函数的单调性。
例1、设在上，则或的大小顺序是。
（a） （b）
（c） （d）
解：选（b）
根据拉格朗日中值定理。
其中，又，单调增加。
因此， 例2、设函数在上连续，在内可导，且满足，如果单调增加，求证在内单调增加。
例3、证明函数在内单调增加。
三、有关函数的极值。
例1、设函数在内连续，其导函数的图形如图所示，则有( )
（a）一个极小值点和两个极大值点。
（b）两个极小值点和一个极大值点。
（c）两个极小值点和两个极大值点。
（d）三个极小值点和一个极大值点。
例2、求的极值。
例3、已知的某个邻域内连续，且，则在点。
处 (d)a）不可导b）可导，且。
c）取得极大值d）取得极小值。
例4设函数具有二阶导数，且，是的极值，则在的极大值的一个充分条件是。
a) (b) (c) (d)
四、求函数的最值。
例2、函数在区间上的最大值为___
五、凹凸区间、拐点与渐近线。
例1、确定函数的单调区间，极值，凹凸区间，拐点及渐近线。
例2、曲线e)渐近线的条数为d)
（a）0. （b）1c）2d）3.
六、方程根的问题。
例、设常数，求函数在内零点个数。
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