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文登考研数学--线性代数--习题集及其答案。
第一章行列式。
一。 填空题。
1. 四阶行列式中带有负号且包含a12和a21的项为___
解。 a12a21a33a44中行标的排列为1234, 逆序为0; 列标排列为2134, 逆序为1. 该项符号为“－”所以答案为a12a21a33a44.
2. 排列i1i2…in可经___次对换后变为排列inin－1…i2i1.
解。 排列i1i2…in可经过1 + 2 + n－1) =n(n－1)/2 次对换后变成排列inin－1…i2i1.
3. 在五阶行列式中=__
解。 15423的逆序为5, 23145的逆序为2, 所以该项的符号为“－”
4. 在函数。
中， x3的系数是___
解。 x3的系数只要考察。 所以x3前的系数为2.
5. 设a, b为实数， 则当a且b = 时，.
解。 所以a = b = 0.
6. 在n阶行列式d = aij|中， 当i < j时aij = 0 (i, j =1, 2, …n), 则d
解。 7. 设a为3×3矩阵， |a| =2, 把a按行分块为， 其中aj (j = 1, 2, 3)是a的第j行， 则行列式___
解。 .二．计算证明题。
1. 设。计算a41 + a42 + a43 + a44 = 其中a4j(j= 1, 2, 3, 4)是|a|中元素a4j的代数余子式。
解。 a41 + a42 + a43 + a44
2. 计算元素为aij = i－j|的n阶行列式。
解。 3. 计算n阶行列式(n 2).解。 当。
当。4. 证明：奇数阶反对称矩阵的行列式为零。
证明： (n为奇数). 所以|a| =0.
5. 试证： 如果n次多项式对n + 1个不同的x值都是零， 则此多项式恒等于零。 (提示： 用范德蒙行列式证明)
证明： 假设多项式的n + 1个不同的零点为x0, x1, …xn. 将它们代入多项式， 得关于ci方程组。
系数行列式为x0, x1, …xn的范德蒙行列式， 不为0. 所以。
6. 设。解。 =
第二章矩阵。
一。 填空题。
1. 设1, 2, 3, ,均为4维向量， a = 1, 2, 3, ]b = 1, 2, 3, ]且|a| =2, |b| =3, 则|a－3b
解。 =2. 若对任意n×1矩阵x, 均有ax = 0, 则a
解。 假设， i是a的列向量。 对于j = 1, 2, …m, 令， 第j个元素不为0. 所以 (j = 1, 2, …m). 所以a = 0.
3. 设a为m阶方阵， 存在非零的m×n矩阵b, 使ab = 0的充分必要条件是___
解。 由ab = 0, 而且b为非零矩阵， 所以存在b的某个列向量bj为非零列向量， 满足abj = 0. 即方程组ax = 0有非零解。 所以|a| =0;
反之： 若|a| =0, 则ax = 0有非零解。 则存在非零矩阵b, 满足ab = 0.
所以， ab = 0的充分必要条件是|a| =0.
4. 设a为n阶矩阵， 存在两个不相等的n阶矩阵b, c, 使ab = ac的充分条件是___解。
解。 6. 设矩阵= _解。 =
7. 设n阶矩阵a满足= _
解。 由得。 所以， 于是a可逆。 由得。
8. 设=__解。 =
9. 设。解。 |a| =3－12 + 8 + 8 + 6－6 = 1
10. 设矩阵， 则a的逆矩阵= _
解。, 使用分块求逆公式。
所以 二。 单项选择题。
1. 设a、b为同阶可逆矩阵， 则。
a) ab = bab) 存在可逆矩阵p, 使。
c) 存在可逆矩阵c, 使 (d) 存在可逆矩阵p和q, 使。
解。 因为a可逆， 存在可逆。
因为b可逆， 存在可逆。
所以 =.于是。
令d)是答案。
2. 设a、b都是n阶可逆矩阵， 则等于。
a) (b) (c) (d)
解。 a)是答案。
3. 设a、b都是n阶方阵， 下面结论正确的是。
a) 若a、b均可逆， 则a + b可逆。 (b) 若a、b均可逆， 则ab可逆。
c) 若a + b可逆， 则a－b可逆d) 若a + b可逆， 则a, b均可逆。
解。 若a、b均可逆， 则。 (b)是答案。
4. 设n维向量， 矩阵，其中e为n阶单位矩阵， 则ab =
a) 0 (b) －e (c) e (d)
解。 ab ==2－2
= e. (c)是答案。
5. 设， ,设有p2p1a = b, 则p2 =
a) (b) (c) (d)
解。 p1a表示互换a的第。
一、二行。 b表示a先互换第。
一、二行， 然后将互换后的矩阵的第一行乘以(－1)加到第三行。 所以p2 =.b)是答案。
6. 设a为n阶可逆矩阵， 则(－a)*等于。
a) －a* (b) a* (c) (1)na* (d) (1)n－1a*
解。 (a)* d)是答案。
7. 设n阶矩阵a非奇异(n 2), a*是a的伴随矩阵， 则。
ab) cd)
解。 c)是答案。
8. 设a为m×n矩阵， c是n阶可逆矩阵， 矩阵a的秩为r1, 矩阵b = ac的秩为r, 则。
a) r > r1 (b) r < r1 (c) r = r1 (d) r与r1的关系依c而定。
解。, 所以。
又因为 , 于是。
所以 . c)是答案。
9. 设a、b都是n阶非零矩阵， 且ab = 0, 则a和b的秩。
a) 必有一个等于零 (b) 都小于n (c) 一个小于n, 一个等于n (d) 都等于n
解。 若， 矛盾。 所以。 同理。 (b)是答案。
三。 计算证明题。
1. 设，. 求： i. ab－ba ii. a2－b2 iii. btat
解。 ,2. 求下列矩阵的逆矩阵。
iii. iiiiv. 解。 i.
ii.. 由矩阵分块求逆公式：
得到： iii.. 由矩阵分块求逆公式：
所以 iv. 由矩阵分块求逆公式：
得到： 3. 已知三阶矩阵a满足。 其中， ,试求矩阵a.
解。 由本题的条件知：
4. k取什么值时，可逆， 并求其逆。
解。 所以
5. 设a是n阶方阵， 且有自然数m, 使(e + a)m = 0, 则a可逆。
解。 因为
所以 . 所以a可逆。
6. 设b为可逆矩阵， a是与b同阶方阵， 且满足a2 + ab + b2 = 0, 证明a和a + b都是可逆矩阵。
解。 因为， 所以。
因为b可逆， 所以。
所以 . 所以都可逆。
7. 若a, b都是n阶方阵， 且e + ab可逆， 则e + ba也可逆， 且。解。
所以 .8. 设a, b都是n阶方阵， 已知|b| 0, a－e可逆， 且(a－e)－1 = b－e)t, 求证a可逆。
解。 因为(a－e)－1 = b－e)t, 所以(a－e)(b－e)t = e
所以 , 由 |b| 0 知存在。
所以 . 所以a可逆。
9. 设a, b, a + b为n阶正交矩阵， 试证： (a + b)－1 = a－1 + b－1.
解。 因为a, b, a + b为正交矩阵， 所以。
所以 10. 设a, b都是n阶方阵， 试证明：.
解。 因为
所以 因为 , 所以
11. 设a为主对角线元素均为零的四阶实对称可逆矩阵， e为四阶单位矩阵。
i. 试计算|e +ab|, 并指出a中元素满足什么条件时， e + ab可逆；
ii. 当e + ab可逆时， 试证明(e + ab)－1a为对称矩阵。
解。 i. ,
所以当时， e + ab可逆。
ii. 因为a, b为实对称矩阵， 所以为实对称矩阵， 所以(e + ab)－1a为对称矩阵。
12. 设， 求an.
解。 使用数学归纳法。
假设 =则 =
所以 ==13. a是n阶方阵， 满足am = e, 其中m是正整数， e为n阶单位矩阵。 今将a中n2个元素aij用其代数余子式aij代替， 得到的矩阵记为a0. 证明。
解。 因为am = e, 所以， 所以a可逆。
所以 14. 设矩阵。
i. 证明： n 3时， (e为三阶单位矩阵)
ii. 求a100.
解。 i.
所以 假设
则 =所以
ii. 15. 当时， a6 = e. 求a11.
解。, 所以
因为 16. 已知a, b是n阶方阵， 且满足a2 = a, b2 = b, 与(a－b)2 = a + b, 试证： ab = ba = 0.
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2019考研必备
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