数学基础树的根，技巧演练靠题型。
勤学苦练强磨砺，功到高分自然成。
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由于成书时间仓促，不足与纰漏之处，望广大考生及同仁指正。
祝考研的朋友们取得成功！
编者。目录：
前言 - 1 -
第一讲极限与连续 - 1 -
第二讲导数与微分 - 5 -
第三讲不定积分 - 7 -
第四讲定积分 - 9 -
第五讲中值定理及一元微积方程应用 - 11 -
第六讲多元函数积分 - 12 -
第七讲无穷级数 - 14 -
为了正确快速求极限必须记住：
1） 函数趋于的速度。
速度越来越快。
例，， 速度越来越快。
2） 抓大头。
若极限式的分子分母均为多项式要抓次数最高的项。
也类似。当时要抓多项式中次数最低的项。
例。例设求。
3） 常见的等价无穷小，（x0）
4)常见的极限。
特例。重要考点：（1）无穷小的比较；
2）极限中常数的确定；
3）未定式的定值法。
4）数列极限。
1．无穷小的比较。
例1.设当x0时，是g(x)的。
a） 高阶无穷小 （b）低阶无穷小。
c）等价无穷小 （d）同阶但非等价无穷小。
例2.当x时与等价是。
a） （b）
c）（d）注意：凡是比较的无穷小个数3。一般讲，先写出各无穷小的等价无穷小，再比较。或先求各无穷小的导数，写出对应的等价无穷小，再比较。
2．未定式定值法。
ⅰ）型。解法1 通过因式分式或根式有理化，消去“0”因子，然后用极限的运算法则求解。
解法2 利用等价无穷小代换。
解法3 利用洛毕达法则。
解法4 作变量替换。
例3 求下列极限。
3），连续。
例4 求下列极限。
1） 求；2） 连续，，求。
ⅱ）型。解法与型类似。
例5 求。ⅲ)型。
或再用法则。
例6求下列极限。
ⅳ)再用法则。
设，则，或。
一般讲：将简单的函数下放，复杂的不下放。具体讲，对数函数与三角函数不下放。例7 求。
设，记住： =a是括号中1后的函数与指数幂数g(x)乘积极限。
例8 求。例9 求。
3．极限式中常数的确定。
例10.设确定的值。
例11．设求。
例12. 设存在且不为0，确定c，并求极限。
例13 设确定a，b值。
关于等价无穷小代换：
例：求；例：求；
例：求； 例：；
4 数列极限。
ⅰ）利用夹逼定理求极限。
例14 求下列极限。
1） 求。2） 求。
ⅱ)利用单调又界数列必有极限定理。
4） 例15.设0＜＜3，
ⅲ）利用幂解数的性质求极限。
5） 例16.设＜1，求。
6） 设：＜1，求。
7） （利用函数极限求数列极限。
8） 例17,求。
9） 例18.求，a，b，c＞0.
五)函数的连续性。
10） 例19.设试问在x=0处是否连续。
11） 例20.设连续且令求，并讨论的连续性。
12） 例21．式画出的图形，并求出间断点判别类型。
考点：①导数的定义；
②复合函数微分法，隐函数微分法，参数方程微分法，幂指函数微分法；
分段函数微分法。
高阶导数。1、导数的定义。
例1设在x=a的邻域有定义则在x=a处可导的充分条件。
a)存在。b）存在。
c）存在。(d)存在。
例2.设在内有定义， =2且对恒有求f(x).
例3 设g(x)满足方程，求。
导数的应用：设y=f(x)在m处可导，则曲线在m点的切线方程：
曲线在m点处的法线方程，
例4.设曲线y=f(x)处的切线方程y=x-1，求。
例5.设y=f(x)与y=sinx在原点处相切，求。
2、各类函数微分法。
一）复合函数微分法。
例6设y=sin,求。
例7.设，求y’(0)
二）隐函数微分法。
例8 设y=y(x)由方程=0确定，求y (x>0)
例9.设有方程求。
三）参数方程微分法。
例10设求曲线在（0,2）处的法线方程。
四）幂指数函数微分法。
例11．设f可导求y
五)分段函数的微分法※
在相邻两分界点之间的函数的导数用一般的微分法求解在分界点处的导数：
1） 若f（x）在的两侧表达式相同，则。
2） 若f(x)在的两侧表达式不相同则先分别求：
再判别是否存在。
例12设 g(x)具有二阶连续的导数，g(0)=1
1） a为何值时f(x)在x=0处连续。
2） 求，判别其连续性。
例13. 设在x=0的邻域内有定义，且，令f(x)=,求。
例14. 设。 求。
3、高阶导数。
例15.. 求。
例16．设为多项式，且满足方程。，求。
例17. 设，求。
注意：凡是求高阶导数在某点处的值，要想利用台劳展开式。
考点：（1）不定积分的三种运算。
ⅰ）凑微分；ⅱ）换元积分法； ⅲ分部积分运算。
（2）有理函数积分、简单无理函数、三角有理式积分；
3）特殊积分。
1． 特殊积分。
例1. 设，求。
例2. 设是的原函数，求。
例3. 设的导数为，则的一个原函数为。
a) (b) (c) (d)
例4. 设。 求。
2． 凑微分法。
一） 简单的凑微分形式。
二） 复杂形式的凑微分法。
其中比复杂，若，k 为常数，，则。
例5. 求下列积分。
例6．求下列积分。
例7. 求下列积分。
例8. 求积分。
例9. 设。求。
考点：（1）定积分概念、性质、定理及公式；
2）特殊类型的积分，尤其是分段函数积分、含变限积分的积分；
3）定积分的有关证明。
概念、性质、定理及公式。
例1 求。例2 设。
例3 设。一）分段函数的积分。
例4 设。例5 设
例6 计算。
例7 设。二）含有变限积分的积分。
方法一利用分步积分法。变限积分选作u(x)，另一部分选作dv
方法二利用二重积分更换积分次序的办法。
例8 求下列积分。
1） 设。2） 设。
例9 设。三）对称区间上的积分。
想到奇偶函数积分的性质，若被积函数非奇偶，则作负变换。
例10 求下列积分。
例11 设。
例12 计算
有关证明题的证明。
例13 设。
1）证明。2）证明。
例14 设
第四节求解函数方程
例15 设。
例16 设
中值定理。例1 设 例2 设。
例3，例4 设。
例5 设。例6 由微分中值定理，证明
例7 设。例8 由拉格朗日定理，
例9 当，一元微积分的应用。
例10设有一人以每秒2m的速度在20m高的桥上走，正下方有一条以每秒的船垂直桥向前方行驶，求第五秒末，人与船的相互距离的速率。
例11 设有一个椭圆，在其上任取一点作椭圆的切线，求以切线和轴、轴所围三角形中面积最小者。
例12 设有曲线。
求曲线从原点到右边第一条与x轴垂直的切线的切点之间曲线的弧长。
例13 设。
1.多元函数微分法。
考点：1）多元函数微分法，尤其是抽象函数的微分法；
2）偏微分方程常数值的确定。
3）多元函数的极值与最值。
例1.求下列极限。
例2.设，，令。
求的间断点，的连续区间，间断点处的左右极限。
例3．设则在原点（0，0）处，①函数f(x,y)是否连续，②是否可导（即偏导存在）③是否可微？
例4.设可微，，计算。
例5．设可微，令，,求（1）（1）.
例6,设其中连续，可导，且，计算。
例7.设二阶可导，求。
例8.设，具有二阶连续的偏导，求。
例9.用变换将方程化为试确定a的值。
例10．设求的极值。
例11.设求在上的最大值，并由此证明，当a，b，c>0时。
2.重积分。
考点：（1）更换积分次序；
（2求分段函数的积分；
(3)利用对称性计算二重积分。
例1.求下列积分。
例2.求下列积分。
1)计算。2）计算i=d是由所围区域。
例3求下列积分。
1） 计算。
2） 计算。
考点：（1）级数敛散性判别；
（2）幂级数求收敛域，收敛半径；
（3）*将函数展成幂级数；
（4）*幂级数求和函数。
一）例1设。
（a）发散 （b）条件收敛 （c）绝对收敛 （d）敛散不定。
例2 设。（a）3 （b）7 （c）8 （d）9
例3 设。（a）发散 （b）条件收敛 （c）绝对收敛 （d）敛散不定。
例4＿＿＿例5 设＿＿＿
例6。 二）
例7 设。例8 设。例9 三）
例10 例11 将。
四）求和函数。
例12 设。
例13 求。
例14 设。
1）证明。2）求出。
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