三角函数。
1．，2．积化和差：，
3．和差化积：，
4．倍角公式：，，
5．半角公式：，，
6．万能公式：设，则，，
7．将次公式：，
8．其他：，
函数极限的性质。
1）极限唯一；（反证）
2）有界性：若，则在某个内有界；
3）局部保号性；
推论1：若，且a>b，则在某个内；
推论2：若，且在某个内，则a≥b。
夹逼定理：若在某个内u≤v≤w，且，则。
heine定理： 对以为极限的数列且≠，都有。
闭区间上连续函数的性质定理：设，
1）有界定理：则m>0，st；
2）最值定理：则，st；
3）根值定理：若，则，st；
若，则，st；
4）介值定理：且，则对，都，st；
stolz定理：设且，若(有限值或)，则。
推论1：若，则；
推论2：若，且，则；
推论3：若，且，则（补充首项1）。
cauchy收敛准则ⅰ：收敛对，当时总有。
cauchy收敛准则ⅱ：，对，总有。
cauchy收敛准则ⅲ：收敛，当时，对总有。
cauchy收敛准则ⅳ：，对，总有对以。
第一类间断点：均存在，其中：
或不存在），称为可去型；
称为跳跃型。
第二类间断点：至少有一个不存在，其中：
若之中有一个为，称为无穷型。
常用极限，令，则，。
等价无穷小量。
极限趋近速度。
双曲函数。奇），（偶），(奇)，
反：， 一根两端固定自然下垂的绳索，如两根电线杆间的电线，称为悬链线，其方程为：
常用导数。高阶微分，不具有形式不变性：为自变量时，；为中间变量时，。
误差估计。1）准确值：a 近似值：a绝对误差： 相对误差：。
若（最大）绝对误差： （最大）绝对误差：。
2），的最大绝对误差：。
常用积分（不定积分已略去常数c）
其中： 正交性： 广义积分。
变限积分求导，其中：
函数的极值与最值、驻点与拐点。
1．极值点的必要条件：若是的极值点，则或不存在。
充分条件ⅰ：在，若。
在内，且在内，则；
在内，且在内，则；
在和内正负号相同，则不是极值点。
充分条件ⅱ： 设存在，且，则。
若，；若，。
充ⅱ引申：设存在，且，则。
若为偶数，当，；当，。
若为奇数，不是极值点。
2．最值：；
3．驻点：，则称为的驻点。驻点不一定为极值点。
4．拐点：若①在处连续，且②在和内正负号相反，则称为的拐点。
或不存在的点和的点可能为拐点。
曲线c在拐点处凹向发生改变。
函数的凸凹。
1．所谓凸凹是指朝向看去的直观结果。
2．，则：凸函数向上凹（往上无限）；
凹函数向下凹（往下无限）。
3．詹生不等式：若在上是凸函数，则有：，其中且。
渐近线、曲率与渐屈线。
1．渐近线 ①垂直：或，则直线即为垂直渐近线；
斜：，其中；
水平：，则直线即为水平渐近线。
2．弧微分。
曲率，曲率半径。
曲率中心坐标：，
3．渐屈线（中心轨迹）：，原曲线为渐开线。
函数作图基本步骤。
确定定义域讨论对称性与周期性求出，定出或不存在的点列表确定曲线的升降和凹向，算出极值和拐点讨论渐近线描出特殊点，绘出曲线。
微分定理。1．fermat定理函数在内有定义，在处可导，且在取局部极值，则。
2．roll定理若函数，且：，则， 。
3．lagrange定理若函数，则， ；
变形①则， —微分中值定理；
变形②则， ；
变形③记，则，
—有限增量公式。
推论ⅰ 若函数在内有，则在内为一常数。
推论ⅱ 若两函数及对有，则（c为一常数）。
推论ⅲ 若函数在上存在有界导数，则在上满足lipschitz条件。
lipschitz条件：若函数在上有定义，且存在常数， 对有：
则称在上满足lipschitz条件。
4．cauchy定理若函数，且对，则。
微分中值定理的应用（辅助函数的构造）
lagrange格式：
cauchy格式：
or。格式：其中为关于的轮换对称式。
分离得到轮换式，。
1 欲证：。，
2 欲证：。，
3 欲证：。
4 欲证：。
令，。函数的一致性连续。
def 设在上有定义，若对，总存在只与有关而与内的无关的， ，当，恒有，则称函数在上一致连续，否则称非一致连续。
ps 若要证函数在上非一致连续，只证：，对，总，虽然，但。。或用反证法推出矛盾。
cantor定理设，则在闭区间上一致连续。
判定对满足lipschitz条件：为常数，则在上一致连续。
函数可积条件。
定理ⅰ 闭区间上的连续函数是可积的。
定理ⅱ 在闭区间上除去有限个点外都连续的有界函数（即具有有限个第一类间断点）是可积的。
推论闭区间上的分段连续函数是可积的。
定理ⅲ 闭区间上的单调函数必可积。
定积分中值定理。
第一定理：设，且在上不变号，则， 。
推论设，则， 。
性质设在上可积，则也可积，且。
第二定理：设，且在上不变号，则，
taylor公式。
1．多项式；
2．函数，peano余项；
3．函数，lagrange余项，其中；
注：具有阶连续导数和阶导数，所以证明时只可以用次l'hospital法则，最后一步用lagrange定理：。
4．maclaurin公式：，在。
5．高阶微分形式：，(
其中，仅适用于为自变量的情况。
关于积分的处理。
令，，则：尤拉变换：令，。
函数序列的一致收敛性。
defⅰ 设是定义在区间上的函数序列，若对，收敛，则称在上逐点收敛。
对，，，当时有：，则：。
defⅱ 设是定义在区间上的函数序列，若有定义在上的函数，满足：，总，当时，对一切都有： 则称在上一致收敛。
定理ⅰ(cauchy一致收敛准则) 在区间上一致收敛，总，当时，对一切都有：。
又叙述为：在上一致收敛，总，当时，有：，。
定理ⅱ 设，且在上一致收敛于，则有：
定理ⅲ 设在上收敛于，，且在上一致收敛，则有：①；
无穷级数。定理若级数收敛，则不改变项的顺序，而对任意有限项求和后得到的新级数仍收敛，且和数相同。
def 条件收敛：级数收敛但发散；绝对收敛：收敛。
性质 ①收敛收敛。反之不成立；②若用比值判别法证明发散，则也发散；
若收敛，则绝对收敛。令，则绝对收敛。
在时收敛，在是发散。
函数项级数的一致收敛性 ，总，当时，有：，。
m—判别存在收敛级数，在区间上有，则在区间上一致收敛。
关于幂级数。
1．幂级数的收敛区间≠收敛域，收敛区间为不包括端点的开区间，收敛域可能为闭区间。
2．幂级数在收敛区间内一致收敛，在收敛域内收敛，但在半径点收敛性不定（绝对or条件or发散）。
3．常用幂级数公式， ，
fourier级数。
1．，，其中：
2．正弦级数（奇式延拓） 。需给出间断点和端点收敛值，其中端点收敛于0。
余弦级数（偶式延拓） 。只给出间断点收敛值即可。
3．周期函数以为周期的f-级数为：
4．将展成f-级数得：，。
进一步可得：，。
f-级数的复数形式，；
微分方程。1．分离变量型 ；
齐次型 ；，其中：，
2．高阶微分方程 ；
3．一阶线性 ；
1)（齐次）
3) bernoulli：
4．二阶常系数线性 ；
1) 齐次— 特征方程：
2) 非齐次情形一
即若为的重根，则方程特解。采用待定系数法求得。
3) 非齐次情形二 or
step1．求的特解：
若为的重根，则；
step2．原方程特解or 。
非齐次方程通解，其中为对应齐次方程的通解。
4) 一般情况——常数变易法。
设。5．euler方程 ，；
6．一阶线性方程组
特征方程：（齐次）；
对于非齐次用消元法。
7．r-c回路
由于。r-c-l回路
其中：，多元函数微分学。
2．隐函数求导：，其中；
3．方向导数：，其中：。
4．空间曲线的切线方程：，切向量：，其中。
法平面方程：。
5．空间曲面的法线方程：，法向量：，切平面方程：。
多元函数的极值。
定理设，令，当。
时，若，则为极大值点；若，则为极小值点。
时，则不是极值点。
时，则不确定是否是极值点。
lagrange法求约束型极值 obj：
st：， 构造辅助函数。
求导：，；求得上述(m+n)元方程组的解代入目标函数验证。
坐标变换。1．极坐标系
2．广义极坐标系
3．柱面坐标系表示半径为c的圆，表示过z轴且与+x方向成角的半平面，表示平行于xoy面的平面，4．球面坐标系
表示以原点为圆心半径为c的球面，表示过z轴且与+x方向成角的半平面，表示以原点为顶点，以与+z方向成角的射线为母线的半圆锥面，（范围可由x、y和z的取值范围确定），5．广义球面坐标系
6．一般坐标变换
其中jacobi行列式；。
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