第二章多项式插值 (习题)
1. 利用lagrange插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）：
解(2)：方法一。 由 lagrange 插值公式。
可得： 方法二。 令。
由，， 定a，b （称之为待定系数法） □
2. 设是以为节点的次多项式插值问题的基函数。
（1）证明。
（2）证明。
证明(1) 由于
故： ，当时有： ，
也即为的插值多项式，由唯一性，有：
证明(2)：
方法一。 用数学归纳法。
方法二。 利用newton插值多项式。
差商表：f(x) 一阶二阶n阶差商。
代入式有：
为次代数多项式，由插值多项式的唯一性：
有。8.设 ，证明。
而且。证明
利用数学归纳法，可证：
因为。故有：
15.设，求在区间上的分段线性插值函数，并估计误差，取等距节点，且。
解 ，设 ，则：
误差估计：第四章数值积分方法与数值微分 (习题)
1．直接验证梯形公式（1.2）与中矩形公式（1.3）具有1次代数精度，而辛甫生公式（1.4）则具有3次代数精度。
解。梯形公式：.
矩形公式： .
以上两求积公式以代入公式两边，结果相等，而以代入公式两边，其结果不相等。故梯形公式的代数精度等于1.
simpson公式：
容易验证：以分别代入simpson公式两边，结果相等，而以代入simpson公式两边，其结果不相等，故simpson求积公式的代数精度为3
2．设在[0，1]上连续，在[0，1]上可积，证明：用复化梯形公式计算的误差形式为。
当。其中是复化梯形和，为积分区间的分划节点。
证明： 当。又 于是：
4．证明中矩形公式的peano核误差公式为：
其中 并由此导出误差形式。
解已知中矩形公式对于一次多项式精确成立，由taylor展开：
又：5. 求系数，使求积公式。
对于次数的一切多项式都是精确成立的。
解：求积公式。
是一个插值型求积公式，令得：
解得： ，第五章线性代数方程组的解法 (习题)
6. 假定已知的三角分解：,试设计一个算法来计算的元素。
解： 记： ,其中：为的第列元素。
由于：, 故： ，矩阵的元素即为
因为有 ,记： 有
解系数矩阵为三角阵的方程组(*)求得，然后解系数矩阵为上三角阵的方程。
组(**即可求得，因而得到的结果。
7．试证对维向量有。
证明： 又故。
18．设有迭代格式。
其中。试证该迭代格式收敛。并取，计算。
解： 可先验证： .
因迭代格式收敛，由于，故：
即 ,记：
于是。即 ，即为精确解。
19．给定方程组。
证明jacobi迭代方法收敛而g-s迭代方法发散。
解：方程组：
jacobi方法：迭代矩阵：
特征方程：
或： jacobi方法收敛。
gauss-seidel迭代方法：
迭代矩阵：特征方程）
或的特征化为下面方程的根：
即： 重根）
故： ,gauss-seidel 迭代方法发散。 □
23．求证矩阵。
当时正定，当时jacobi迭代法解收敛。
证明： 矩阵。
正定的充分必要条件为：
(1)、(2)均满足，由(1)有：
由(2) 有： 记。
可知： 于单调上升，于单调下降，于单调上升， 为的极值点，为的零点。
故： ，当时，合并、，可知当时，矩阵正定。
又若要jacobi迭代法收敛，则要求取，使得和同时正定，此时。
为正定矩阵的充分必要条件为：
、同时成立，由得：
由得： 记：
可知： 于单调下降，于单调上升，又： ，为的零点 ,故： 当 ,综合起来，当时矩阵和同时为正定对称矩阵，故
当jacobi方法解方程是收敛的。 □
第七章非线性方程数值解法 (习题)
2. 为求方程在附近的一个根，设将方程改写为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：
1），迭代公式。
2），迭代公式，3），迭代公式，试分析每一种迭代公式的收敛性，并问哪一种迭代收敛得快？
解：取的邻域来考察。
(1)， 故迭代公式(1)收敛。
故迭代公式（2）也收敛。
故迭代公式（3）发散。
由于越小，越快地收敛于根，故（2）式收敛最快。□
16．讨论以下序列当时的收敛阶：
对（1）、（2）再用aitken方法计算，至。
解 (1)，有： ，线性收敛速度。
(2) ，有： ，线性收敛速度。
(3) ，有。
平方收敛速度。
第八章常微分方程数值解 (习题)
1．用euler方法解初值问题。
并证明其截断误差。
解。将enler方法应用于值问题。
得差分方程初值问题。
这里， 由此得。
迭代得到。而此问题真解为。
于是其截断误差。
2．证明：改进的euler方法是稳定的。
证明：设所考虑的初值问题。
其中关于满足lipschitz条件：
考虑 令，则有。
于是，当时，有。
从而。注意，这里。
取，则有。即改进的euler方法是稳定的。
4．构造形如下面形式的三阶格式。
解将，，，在处泰勒展开，并考虑线性组合。得。令
解得 将此参数代入原格式中便得到三阶格式族。
5．求具有最高阶的三步方法的系数。
解一般三步方法为。
由阶条件。
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