2023年万学海文线性代数。
春季基础班考研辅导讲义。
主讲铁军教授。
铁军教授简介：著名考研数学辅导专家，近几年在全国各大城市声名鹊起，成为与王式安、赵达夫齐名的考研数学辅导“三驾马车”之一。铁军教授从事考研数学辅导工作以来，以其高屋建瓴、大气磅礴、睿智幽默的风格，对考点、重点、难点全面、深刻、透彻的把握，关爱学生、高度负责的态度以及对考题的精准**，令考生受益无穷。
特别是铁军老师的数学全程保过班，更是以无与伦比的连续性、系统性和考生的数学成绩大面积高分而受到广大莘莘学子的爱戴！2023年，考研竞争空前激烈！万学海文邀请铁军教授亲临面授，为您考研成功保驾护航。
您的理想将在您我的共同努力下实现。这是我们的信心，也将是您的信心！
线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视。线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，主要用证明题的方法技巧来解决计算题。因此，必须掌握证明题的证明技巧，并会在计算题中灵活应用。
难点在于线性代数的内容比较抽象，综合性强，特别是关于向量的线性相关性、矩阵的秩与线性方程组的解的结构定理的综合题难度较大，必须突破这一难点。
第一章行列式。
行列式的核心考点是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶。但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开。另外，用简单的递推公式求行列式的方法也应掌握。
大纲内容】行列式的概念和基本性质；行列式按行（列）展开定理。
大纲要求】了解行列式的概念，掌握行列式的性质。会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。
考点分析】考研试题中关于行列式的题型主要是填空题，纯粹考行列式的题目很少，但行列式是线性代数中必不可少的工具，它在处理以下问题中都有重要应用：
1．判定方阵是否可逆以及应用公式求逆矩阵；
2．判定个维向量的线性相关性；
3．计算矩阵的秩；
4．讨论系数矩阵为方阵的线性方程组的解的情况并利用克莱姆法则求方程组的解；
5．求方阵的特征值；
6．判定二次型及实对称矩阵的正定性。
同时，上述内容也可与行列式知识相结合构造新的关于行列式的题型。在复习过程中，请大家注意及时归纳总结。
重要考点】1．行列式按行、按列展开公式为：
2．两个特殊公式：设是阶方阵，是阶方阵，则。
3．范德蒙行列式：
4．余子式和代数余子式的定义，其中的余子式为，的代数余子式为。
典型例题】1. 计算阶行列式。
2.阶行列式。
范德蒙行列式：，阶范德蒙行列式的结构特点是每列元素按的升幂排列，构成一个等比数列。
3. 计算四阶行列式。
4. 计算四阶行列式。
其中均不为0）
5. 计算四阶行列式。
形如的行列式称为三对角型（三斜线形）行列式。三对角型行列式的特点是沿主对角线方向三列元素不为零，其余元素均为零。对于这类三对角型行列式通常可用递推法。
6. 计算阶行列式。
7．五阶行列式的值为。
8. 五阶行列式。
形如的行列式称为箭形、爪形或扇形行列式，其特点是行列式中主对角线上的元素和第一行、第一列上的元素不为零，其余元素均为零。对于箭形、爪形或扇形行列式，可用主对角线上的元素化其为上（下）三角型行列式进行计算。
9.计算阶行列式。
10. 计算阶行列式。
11. 计算阶行列式。
计算含子块的四分块的分块矩阵的行列式：掌握简化行列式运算的两个重要公式：设是阶方阵，是阶方阵，则。
12． 计算
13. 计算五阶行列式
14．设均是阶矩阵，则。
15. 四阶行列式的值等于。
a） （b）
c）（d）★ 若行列式中含有变量，则该行列式展开后成为关于的多项式，可考查该多项式的次数、零点等问题。
16. 设行列式，则的展开式中，的系数是的系数是。
17. 设行列式。
则方程的根的个数为（ ）
a）1 （b）2 （c）3 （d）4
18.设多项式。
则的次数至多是（ ）
a）1 （b）2 （c）3 （d）4
计算代数余子式线性组合的值：
1．余子式和代数余子式。
在n阶行列式，余下的元素按原有顺序构成的阶行列式，称为元素的余子式，记作。
之前加上符号，称为元素的代数余子式，记作。
2．代数余子式的性质：
（1）和的大小无关；
（4）的伴随矩阵， 则。
由于中的元素为，可先求，再求和
设的特征值为，则。
【评注】设，的代数余子式为，则只与的位置有关，而与的大小无关。所以若改变中的值而其他元素不变，则的值不变，因此可用元素置换法计算代数余子式线性组合的值。
19. 设，求（1）；（2）.
20. 设行列式，则第四行各元素余子式之和的值为。
21．设是三阶可逆矩阵，的特征值为求的代数余子式之和：
计算抽象矩阵的行列式：主要利用矩阵行列式的性质。
设为阶矩阵，则有。
（4）设为阶可逆矩阵，则
（5）利用行列式加法运算的性质：
设为维列向量，为维行向量，则，22. 设a为3×3矩阵，，把a按列分块为，其中是a的第列，则。
23. 设均为4维列向量，且，，则。
24. 设阶矩阵，，其中为维列向量。已知行列式，求行列式的值。
25．若a是阶方阵，且，，证明。
26．设a、b均为阶矩阵，，则。
第二章矩阵。
矩阵是线性代数的主要研究对象，有着广泛的应用。矩阵考试的重点。
是：矩阵的乘法运算，逆矩阵，伴随矩阵，初等矩阵。以计算题为主，技巧性强。
大纲内容】矩阵的概念；矩阵的线性运算；矩阵的乘法；方阵的幂；方阵乘积的行列式；矩阵的转置；逆矩阵的概念和性质；矩阵可逆的充分必要条件；伴随矩阵；矩阵的初等变换；初等矩阵；矩阵的等价；矩阵的秩；初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法；分块矩阵及其运算。
大纲要求】掌握矩阵的概念和矩阵的各种运算，特别是矩阵的乘法、矩阵的转置、逆矩阵、方阵的行列式等。要掌握它们的运算规律、逆矩阵的性质及矩阵可逆的充分必要条件，会用各种方法求出矩阵的逆矩阵，矩阵的初等变换是研究矩阵各种性质和应用矩阵解决各种问题的重要方法，因此必须掌握矩阵的初等变换，会用初等变换解决有关问题。
考点分析】矩阵乘法有分配律，结合律，但是没有交换律，没有消去律。
1.矩阵乘法运算一般不满**换律，即，因此要注意运算次序。
2.一般地，或，；
3.，除非a是列满秩矩阵。
5.设，其中均为维行向量，即，则。
非零阵a可表为的形式的充要条件为：秩。
注意：与相关的问题，是考研数学中常见题型。
典型例题】 计算阶矩阵的高次幂是一种重要题型，包括：
1） 计算一般矩阵的高次幂；
2） 计算能分解为一个列向量与一个行向量乘积的矩阵的高次幂；
（3） 计算分块对角矩阵的高次幂：
设，则。（4）计算能相似对角化的矩阵的高次幂。
1．设，而为正整数，则。
2．设，，令，求。
3．已知，则，.
4．已知，，设，则。
5．设维行向量，矩阵，其中为阶单位矩阵，则ab等于（ ）
a）o （bcd）
6．设，若存在秩大于的三阶矩阵，使得，则。
7．设，求。
逆矩阵与伴随矩阵：
1. 求逆矩阵方法：用初等变换（不能行、列变换混用），2. 矩阵a可逆的充要条件：
1）存在阶方阵b，使。
3）秩（a为阶方阵）
4）a与同阶单位矩阵e等价。
5）a可以表示成若干个初等矩阵的乘积。
6）齐次线性方程组只有零解。
7）对任意维列向量，非齐次线性方程组有唯一解。
8）a的行（列）向量组线性无关。
9）a的特征值均不为。
3. 逆矩阵常用公式：
4. 思维定势：（1）题设条件与有关，则立即联想到用公式。
2）若涉及到a、b是否可交换，即，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。
（3）若题设阶方阵a满足，要证可逆，则先分解出因子再说。
5.伴随矩阵的主要定理和公式。
（4）（为常数，a为阶矩阵，）
（5）（a为阶矩阵，）
（6）（a为任阶矩阵，）
9）设a是阶矩阵，则。
8．设a为阶非零矩阵，证明当时，a可逆。
9．设维向量；e为阶单位矩阵，矩阵，，其中a的逆矩阵为b，则。
10．设阶可逆矩阵a中每行元素之和均为常数。证明：（1）常数。
（2）的每行元素之和均为。
11． 设a、b均为阶方阵，且。
证明：（1）；（2）.
12．已知可逆，试证也可逆，并求。
13．设a是阶方阵，且，则（ ）
（a）a不可逆，且不可逆；
（b）a可逆，但e+a不可逆；
c）及均可逆；
d）a不可逆，且必有。
4．已知a、b为3阶矩阵，且满足，其中e是3阶单位矩阵。（1）证明：矩阵a-2e可逆；（2）若，求矩阵a .
15．设矩阵a、b满足，其中，e为单位矩阵，为的伴随矩阵，则b
16．已知三阶矩阵a的逆矩阵，试求。
17． 设矩阵，矩阵满足，求矩阵。
18. 设矩阵a= 满足，其中是a的伴随矩阵，为a的转置矩阵。 若为三个相等的正数，则为( )
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