◆考点聚焦。
1．了解梯形、直角梯形、等腰梯形的概念．
2．掌握等腰梯形的性质和判定，并能进行计算和证明．
3．通过作辅助线灵活地解决与梯形有关的问题．
4．掌握三角形中位线定理和梯形面积公式，了解梯形中位线定理．
备考兵法。1．本节内容在考试中主要涉及梯形、等腰梯形、直角梯形的定义、性质和判定，三角形与梯形中位线定理．考查的形式有填空题、选择题、解答题，有时也会出现开放题和探索题．主要以计算和证明为主，图形的变换和运动、面积类问题也容易和梯形挂上钩．
2．解答时需要添加一些较明显的辅助线，将梯形问题转化为三角形、矩形或平行四边形来解决，体会转化的思想．
识记巩固。1．梯形：一组对边___另一组对边___的四边形叫梯形．
等腰梯形：两腰___的梯形叫等腰梯形．
直角梯形：有一个角___的梯形叫直角梯形．
2．等腰梯形的特征：
（1）等腰梯形同一底上的两个角___
（2）等腰梯形的对角线___
（3）等腰梯形是___对称图形，其对称轴是。
3．等腰梯形的判定：
（1的梯形是等腰梯形．（定义）
（2的梯形是等腰梯形．
（3的梯形是等腰梯形．
4．三角形和梯形的中位线定理：
（1）三角形的中位线___于第三边且等于第三边的___
（2）梯形的中位线___于两底且等于两底和的___
5．梯形的面积：
如图所示，s梯形abcd=（ab+cd）·de用l表示中位线，h表示高）．
在该梯形中，面积相等的三角形有：
识记巩固参***：
1．平行不平行相等直角 2．（1）相等 （2）相等 （3）轴 过两底中点的直线 3．（1）两腰相等 （2）同一底上的两角相等 （3）对角线相等 4．（1）平行一半 （2）平行一半 5．ch （1）s=s （2）s=s （3）s=s
典例解析。例1 （2011安徽芜湖，21，8分）如图，在梯形abcd中，dc‖ab，ad=bc, bd平分过点d作，过点c作，垂足分别为e、f，连接ef，求证：为等边三角形。
答案】证明：因为dc‖ab，，所以。
又因为平分，所以2分。
因为dc‖ab，所以，所以所以4分。
因为，所以f为bd中点，又因为，所以……6分。
由，得，所以为等边三角形8分。
例2 （2011山东泰安，27 ，10分）已知，在梯形abcd中，ad∥bc，∠abc=900，bc=2ad，e是bc的中点，连接ae、ac.
1）点f是dc上一点，连接ef，交ac于点o（如图①），求证：△aoe∽△cof
2）若点f是dc的中点，连接bd，交ae于点g（如图②），求证：四边形efdg是菱形。
答案】证明：∵点e是bc的中点，bc=2ad
∴ec=be=bc=ad
又∵ad∥ec
四边形aecd为平行四边形。
ae∥dc∠aeo=∠cfo，∠eao=∠fco
△aoe∽△cof
2）证明：连接de
ad∥be ，ad=be
四边形abed是平行四边形。
又∠abe=900
□abed是矩形。
ge=ga=gb=gd=bd=ae
e、f分别是bc、cd的中点。
ef、ge是△cbd的两条中位线。
ef=bd=gd，ge=cd=df
又ge=gd∴ef=gd=ge=df
则四边形efdg是菱形。
例3 （2008，四川广安）如图，在梯形abcd中，ad∥bc，e为cd中点，连结ae并延长ae交bc的延长线于点f．
（1）求证：cf=ad；
（2）若ad=2，ab=8，当bc为多少时，点b**段af的垂直平分线上？为什么？
解析 （1）证明：∵ad∥bc，∴∠f=∠dae．
又∵∠fec=∠aed，ce=de，∴△fec≌△aed，cf=ad．
（2）当bc=6时，点b**段af的垂直平分线上．
∵bc=6，ad=2，ab=8，∴ab=bc+ad．
又∵cf=ad，bc+cf=bf，∴ab=bf．
∴点b在af的垂直平分线上．
点评在（2）中要证点b**段af的垂直平分线上，其实是依据到af的两端点a，f距离相等的点在af的垂直平分线上来证的，即只需从证明ab=bf出发倒推即可．
拓展变式1 在梯形abcd中，ad∥bc，ad+bc=cd，e是ab的中点，则∠ced=__度．
答案 90拓展变式2 如图，直角梯形abcd的中位线ef的长为a，垂直于底的腰ab的长为b，则图中阴影部分的面积等于___
答案： ab
**：z§xx§
2023年中考真题。
一、选择题。
1. （2011江苏扬州，7,3分）已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②等腰梯形的对角线相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④内错角相等。其中假命题有（ ）
a. 1个 b. 2个 c. 3个 d. 4个
答案】b2. （2011山东滨州，12，3分）如图，在一张△abc纸片中， ∠c=90°, b=60°,de是中位线，现把纸片沿中位线de剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有一个角为锐角的菱形；④正方形。
那么以上图形一定能被拼成的个数为( )
a.1b.2c.3d.4
答案】c[**。
3. （2011山东烟台，6,4分）如图，梯形abcd中，ab∥cd，点e、f、g分别是bd、ac、dc的中点。已知两底差是6，两腰和是12，则△efg的周长是（ ）
a.8 b.9 c.10 d.12
答案】b4. （2011浙江台州，7,4分）如图，在梯形abccd中，ad∥bc，∠abc=90，对角线bd、ac相交于点o。下列条件中，不能判断对角线互相垂直的是（ ）
a. ∠1=∠4 b. ∠1=∠3 c. ∠2=∠3
答案】b5. （2011台湾台北，15）图(五)为梯形纸片abcd，e点在上，且，＝3，＝9，＝8。若以为折线，将c折至上，使得与交于f点，则长度为何？
a． 4.5 b。5 c。5.5 d．6
答案】b6. （2011山东潍坊，11，3分）已知直角梯形abcd中， ad∥bc，∠bcd=90°, bc = cd=2ad , e、f分别是bc、cd边的中点，连接bf、de交于点p，连接cp并延长交ab于点q，连接af，则下列结论不正确的是（）
a . cp 平分∠bcd
b. 四边形 abed 为平行四边形。
c. cq将直角梯形 abcd 分为面积相等的两部分
d. △abf为等腰三角形。
答案】c7. （2011山东临沂，12，3分）如图，梯形abcd中，ad∥bc，ab＝cd，ad＝2，bc＝6，∠b＝60°，则梯形abcd的周长是（ ）
a．12b．14c．16d．18
答案】c8. （2011四川绵阳11，3）如图，在等腰梯形站abcd中，ab//cd，对角线ac、bd相交于o，∠abd=30°，ac⊥bc, ab = 8cm,则△cod的面积为。
a. b.
c. d.
答案】a9. （2011湖北武汉市，7，3分）如图，在梯形abcd中，ab∥dc，ad=dc=cb，若∠abd＝25°，则∠bad的大小是。
a．40°． b．45c．50°． d．60°．
答案】c10．（2011湖北宜昌，12，3分）如图，在梯形abcd中，ab∥cd，ad=bc，点e,f,g,h分别是ab,bc，cd，da的中点，则下列结论一定正确的是( )
a. ∠hgf = ghe b. ∠ghe = hef
c. ∠hef = efg d. ∠hgf = hef
第12题图）答案】d
二、填空题。
1. （2011福建福州，13，4分）如图4,直角梯形中，∥,则度。
答案】2. (2011 浙江湖州，14，4)如图，已知梯形abcd，ad∥bc，对角线ac，bd相交于点o，△aod与△boc的面积之比为1：9，若ad=1，则bc的长是 ．
答案】33. （2011湖南邵阳，16，3分）如图（六）所示，在等腰梯形abcd中，ab∥cd，ad=bc，ac⊥bc，∠b=60°，bc=2cm，则上底dc的长是___cm。
答案】2.提示：∠cab=90°-60°=30°，又∵等腰梯形abcd中，∠bad=∠b=60°，∠cad=∠bad-∠bac=30°。
又∵cd∥ab，∴∠dca=∠cab=30°=∠dac。
cd=ad=bc=2cm。
4. （2011江苏连云港，16，3分）一等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8，则这个等腰梯形的对角线长为___
答案】5. （2011江苏宿迁，15,3分）如图，在梯形abcd中，ab∥dc，∠adc的平分线与∠bdc的平分线的交点e恰在ab上．若ad＝7cm，bc＝8cm，则ab的长度是 ▲ cm．
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