一、选择题。
a. b. c. d.
选a2.命题p；命题q，则（ ）
a. p假q假 b. p真q假 c. p假q真 d. p真q真。
选d. 解：
3.偶函数满足：，且在区间[0,3]与上分别递减和递增，则不等式的解集为（ ）
a. b.
c. d.
选d解：的解集为。
所以，原不等式的解集为。
4.设等差数列的前n项和是且，则（ ）
a. b. c. d.
选d 解：
5. 对于平面和共面的直线、下列命题中真命题是。
（a）若则 （b）若则。
（c）若则 （d）若、与所成的角相等，则。
选c 6.函数的图像大致是（ ）
abcd选c
解： 7.若函数的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为（ ）
a （ b （）c （）d （0，0）
选c 解：因为的周期为1，所以。
的对称中心为（x，0）
而。8.函数的最小值为（ ）
a. 1003×1004 b. 1004×1005 c. 2006×2007 d. 2005×2006
选a 解：由绝对值的几何意义知x=1004时，取得最小值：此时的最小值为。
二、填空题。
9.等于 .
解： 10.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数的平均数为10，方差为2.则。
答：411.关于的方程有负数根，则实数的取值范围为。
解：，所以，从而。
解得 12.若多项式，则。
答：-10解：左边的系数为1，易知，左边的系数为0，右边的系数为，所以。
13.右图中有一个信号源和五个接收器，接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接受到信号，否则就不能接收到信号，若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，再把所得六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是。
解：将左端6个点均分三组由。
将右端6个点均分三组也有15种。
所以，总接线方法数为225种。
若5个接收器能同时收到信号，说明这6个电器一定是串联，不妨设从左端信号源开始接出，则左端有5种接法；选一个然后从该元件的右端接出，不能接回信号源，则有4种接法；依次类推，如图，其中①②③代表第几步。
以下三个小题只选做一个。
14.如图，设p为内一点，且，则的面积与的面积之比等于 .
解：过p点作ab与ac的平行线交ab、ac分别于m、n，则。
所以 15、已知直线的参数方程（为参数），其中实数的范围是，则直线的倾斜角是 .
16、已知，不等式（）恒成立，则的最大值。
答： 三、解答题。
17、已知的解析表达式。
解：由，得。
于是。18、一位学生每天骑车上学，从他家到学校共由5个交通岗，假设他在每个交通岗遇到红灯是相互独立的，且首末两个交通岗遇红灯的概率均为p。其余3个交通岗遇红灯的概率为。
1）若，求该学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率。
2）若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过，求p
解：（1）记该学生在第个交通岗遇到红灯事件为他们相互独立，则这名学生在第三个交通岗第一次遇到红灯为。
p（）＝这名学生在第三个交通岗第一次遇到红灯为。
2）过首末两个路口，共中间三个路口分别看作独立重复试验，a＝ b＝，则a与b互斥。
故。又，所以p的取值范围为。
19、如图，斜三棱柱是面积为的菱形。为锐角，侧面， 且。
1) 求证：
2）求的距离。
解：是菱形。
所以。从而是等边三角形。
设，又侧面。
所以。的面积为，则的距离为。
所以是等边三角形，且。
方法一（向量法）以。
则。2）设，则。
所以。解得。
则。方法二（几何法）
1）是，易得。
2）由于距离，显然对三棱锥有。
由则已知。在△abc中，bc边上的高ae＝
即。20、在数列
1)求证：数列是等比数列；
2）设数列得公比为，
3）求。解：（1）由已知，即有。
由解得。所以。
当。－②得。
综上所述，知
因此是等比数列；
2） 由（1）知。则。所以
因此，是等差数列，且。
21、（本小题满分12分）
已知函数。（i）求在区间上的最大值。
（ii）是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。
解：（i）当即时，在上单调递增，当即时，
当时，在上单调递减，综上，
（ii）函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数。
的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。
当时，是增函数；
当时，是减函数；
当时，是增函数；
当或时， 当充分接近0时，当充分大时，
要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须。
即。所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为。
22．在周长为定值的，且当顶点c位于定点p时，有最小值为。
1）建立适当的坐标系，求顶点c的轨迹方程。
2）过点a作直线与（1）中的曲线交于m、n两点，求的最小值的集合。
解：（1）以ab所在直线为轴，线段ab的中垂线为轴建立直角坐标系。
设。所以c点的轨迹是以a、b为焦点的椭圆，焦距。因为。又。
所以，由题意得＝
所以。此时。
所以p点的轨迹方程为。
2）不妨设a点的坐标为a（－3，0），m（），n（），当直线mn的倾斜角不为时，设其方程为。
代入椭圆方程化简，得。
显然有。又。
所以。只要考虑的最小值，即考虑1－取最小值，显然，
当直线mn的倾斜角为时，，得。
但。故，这样的m、n不存在。即。
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