2023年普通高校招生数学(理)统一考试(上海卷)
理工农医类）
本试卷共22道题，满分150分。考试时间120分钟。
第ⅰ卷 （共110分）
一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得。
4分，否则一律得零分。
1．函数的最小正周期t
2．若。3．在等差数列中，a5=3, a6=－2,则a4+a5+…+a10
4．在极坐标系中，定点a点b在直线上运动，当线段ab最短。
时，点b的极坐标是。
5．在正四棱锥p—abcd中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线pa与bc所成角的大小等于结果用反三角函数值表示）
6．设集合a=,b=, 则集合{x|x∈a且。
7．在△abc中，sina;sinb:sinc=2:3:4,则∠abc结果用反三角函数值表示）
8．若首项为a1，公比为q的等比数列的前n项和总小于这个数列的各项和，则首项a1，公比q的一组取值可以是（a1，q
9．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成。现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为结果用分数表示）
10．方程x3+lgx=18的根x结果精确到0.1）
11．已知点其中n的为正整数。设sn表示△abc外接圆的面积，则。
12．给出问题：f1、f2是双曲线=1的焦点，点p在双曲线上。若点p到焦点f1的距离等于9，求点p到焦点f2的距离。某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由。
||pf1|－|pf2||=8，即|9－|pf2||=8，得|pf2|=1或17.
该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内。
二、选择题（本大题满分16分）本大题共4题，每题都给出代号为a、b、c、d的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。
13．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是。
a．y=tg|xb．y=cos(－x).
c． d．.
14．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是。
a．α、都垂直于平面r.
b．α内存在不共线的三点到β的距离相等。
c．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β.
d．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α,l∥β，m∥β.
15．a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0的解集分别为集合m和n，那么“”是“m=n”的。
a．充分非必要条件。 b．必要非充分条件。
c．充要条件 d．既非充分又非必要条件。
16．f()是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g（）=af（）+b，则下。
列关于函数g（）的叙述正确的是。
a．若a<0,则函数g（）的图象关于原点对称。
b．若a=－1，－2 c．若a≠0,b=2,则方程g（）=0有两个实根。
d．若a≥1,b<2,则方程g（）=0有三个实根。
三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤。
17．（本题满分12分）
已知复数z1=cosθ－i，z2=sinθ+i，求| z1·z2|的最大值和最小值。
18．（本题满分12分）
已知平行六面体abcd—a1b1c1d1中，a1a⊥平面abcd，ab=4，ad=2.若b1d⊥bc，直线b1d与平面abcd所成的角等于30°，求平行六面体abcd—a1b1c1d1的体积。
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分。
已知数列（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列。
（1）求和：
（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明。
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。
（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱。
宽l是多少？
（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设。
计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧。
道的土方工程量最最小？
（半个椭圆的面积公式为，柱体体积为：底面积乘以高。本题结果精确到0.1米）
21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分。
在以o为原点的直角坐标系中，点a（4，－3）为△oab的直角顶点。已知|ab|=2|oa|，且点b的纵坐标大于零。
（1）求向量的坐标；
（2）求圆关于直线ob对称的圆的方程；
（3）是否存在实数a，使抛物线上总有关于直线ob对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a的取值范围。
22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分。
已知集合m是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数t，对任意x∈r，有f(x+t)=t f(x)成立。
（1）函数f(x)= x 是否属于集合m？说明理由；
（2）设函数f(x)=ax（a>0,且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：
f(x)=ax∈m；
（3）若函数f(x)=sinkx∈m ,求实数k的取值范围。
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