二项式定理（1课时）
知识要点：1. 二项式定理：
2. 二项展开式的通项：
3. 二项式系数：
4. 组合总数公式：
典型范例：例1：已知二项式展开式中，末三项的系数依次成等差数列，求此展开式中所有的有理项。
解：由二项展开式的通项公式得，二项展开式中末三项的系数分别为
依题意得，化简得，注意到这里，故得n=8
设第r+1项为有理项，则有x的幂指数为整数， ∴r=0，4，8，
t1，t5，t9为有理项。
所求二项展开式中的有理项分别为。
点评：二项展开式中关于某些项或某些项的系数问题，一般都要运用通项公式。
例2：已知展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992，求展开式中系数最大的项．
分析：由系数间的关系可求n ，然后求系数最大的项即求系数不小于其前一项和后一项的系数的项，可以列不等式组求解．
解：令x＝1，得各项的系数和为（1＋3）n＝4n，而各项的二项式系数和为＋＋…2n，4n＝2n＋992 ∴2n＝32或2n＝－31（舍）
n＝5，设第r＋1项系数最大，则即。
≤r≤，又r∈z ∴r＝4
系数最大的项是第五项，且t5＝．
点评：本思想方法不仅适用于求系数最大（小）项问题，在数列问题中也广泛采用．
例3：设f（x）＝，试求f（x）展开式中含的项的系数．
分析：对于三项的式子，可以将其中的两项当做整体运用二项展开式定理。
解：设f（x）的通项tk＋1＝（2x－3x2）k，设（2x－3x2）k中的第r＋1项含x5，则。
tr＋1＝（2x）k－r（－3x2）r＝（－1）r2k－r·3rxk＋r
令得或或。代入上式得x5的系数是－168．
点评：二项展开式有通项公式，仿此三项展开式也有通项公式，注意其应用，另外此题也可以用排列组合的知识解．
练习：一、选择题。
1.在的展开式中的系数是（ ）
a. –14 b. 14 c. –28 d. 28
解：，应选b。
2.在的展开式中，的项的系数为（ ）
a. 74 b. 121 c. –74 d. –121
解：考虑求和转化，原式=，∴原展开式中项的系数为，应选d。
3. 若展开式中含项的系数与含项的系数之比为 -5，则n等于（ ）
a. 4 b. 6 c. 8 d. 10
解：n=6，r=4，故选b。
4. 如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（ ）
a. 7 b. –7 c. 21 d. –21
解：令得 ， 128，解得n=7，从而所求系数为21 ，应选c。
二、填空题。
5.展开式中的常数项是 （用数字作答）
解： 240。
6. 若在展开式中系数为 -80，则a= 。
解： -2。
7. 若，则= 。用数字作答）
解：设，则=1, =1
∴ 原式=2004。
8. 的展开式中整理后的常数项为 。
解：运用两个计数原理，展开后的常数项分为三类：
1）5个式子均取，则有； （2）5个式子中一个取，一个取，三个取，则有；（3）5个式子中两个取，两个取，一个取，则有。
它们的和为，即为所求常数项。
三、解答题。
9. 设，求：①展开式中各二项式系数的和； ②展开式中各项系数的和； ③的值。
解：令。①注意到这里n=200，故展开式中各二项式系数的和。
展开式中各项系数的和。
③计算与，得=
10．已知，求证：当为偶数时，能被整除。
证明：∵ 为偶数，∴设（），当=时，显然能被整除，当时，（）式能被整除，所以，当为偶数时，能被整除。
11. 已知的展开式中奇数项的二项式系数之和等于512，试求：
（1）二项式系数最大的项； （2）系数的绝对值最大的项； （3）系数最大的项。
解：由题意得=512, ∴n=10
∴二项展开式的通项公式为。
（1） ∵n=10， ∴二项展开式共11项 ∴二项展开式的中间一项即第六项的二项式系数最大。
又 ∴所求二项式系数最大的项为。
（2）设第r+1项系数的绝对值最大，
则有。解之得，故得r=3
第4项系数的绝对值最大 ∴ 所求系数绝对值最大的项为。
（3）由通项公式的特征可知，系数最大的项应在项数为奇数的项内， 即在r取偶数的各项内，计算得系数最大的项为第5项(r=4)，即。
点评：解决二项式问题要注意区分两种系数：一种是某一项的系数，按通常的多项式系数去理解、认定；一种是某项的二项式系数，仅指这一项中所含的那个组合数。二者在特殊情况下方为同一数值。
（2）对于减法式子的展开式中系数绝对值最大的项，可转化为加法的展开式中系数最大的项。
（3）本题解法“一题两制”：对于（2），我们运用一般方法进行推导；对于（3），我们运用认知、列举、比较的方法导出目标。当指数n数值较小时，（3）的解法颇为实用。
二项式定理第一课时研讨课学案
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