导数及其应用。
一、【考点分析】
2023年江苏省高考说明中，《导数及其应用》属于必做题部分，其中导数的概念是a级要求，导数的几何意义，导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值，以及导数在实际问题中的应用是b级要求。
导数与函数、数列、三角、不等式、解析几何等知识有着密切的联系，导数作为工具在研究函数的性质及在实际生活中有着广泛的应用， 导数是高中数学中与高等数学联系最密切的知识之一，所以备受高考命题老师的重视。
二、【典例解析】
例题1】设直线是曲线的一条切线，则实数的值是 .
解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．
令得，故切点，代入直线方程，得 ．
答案】例题2】函数单调递增区间是。
解析】令。答案】
例题3】设是函数的导函数，的图象如右图所示，则的图象最有可能的是。
填图象序号）
解析】 利用导函数的图像的零点，可以函数在及上单调递增，而在上单调递减．从而只有图像③符合要求．
答案】③例题4】函数在时有极值，则的。
值分别为。解析】
由已知，得
即解得，经检验：当时，不是极值点； 当时，符合题意。
答案】例题5】函数在上单调递增，则实数的最大值为 .
解析】(方法1),由已知，得即在区间上恒成立。
(方法2) 令，则把函数看成是函数，与函数的复合函数，在区间上单调递增，要使函数在上单调递增，只要在区间上单调递增即可。
当且仅当， 即，答案】
例题6】已知函数在与时都取得极值，1)求的值与函数的单调区间；
2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围。
解析】（1）
由已知，得，即，解得。
函数的单调递增区间是与，单调递减区间是。
2）由（1）得，在区间上，
由已知，得，解得 .
故所求实数的取值范围为。
例题7】已知函数。
1）求函数在上的最大值和最小值；
2）过点作曲线的切线，求此切线的方程。
解析】（1），令 ，解得。
在上， 2）设切点为，则所求切线方程为。
切线过点，解得或。
切线方程为。
即或。例题8】设函数，且函数在处取得一个极值。
1）求实数的值；
2）对于任意实数，恒成立，求实数的最大值；
3）若方程有且仅有一个实根，求实数的取值范围．
解析】(1)，由已知，得，即，解得。
经检验：符合题意。 故所求实数的值为。
方法1)由已知，得，而，实数的最大值为。
(方法2) ,
即恒成立，
解得，实数的最大值为。
3) 当时， ;
当时， ;当时， ;
当时，取得极大值。
当时，取得极小值 ;
当或时， 方程有且仅有一个实根。
解得或。实数的取值范围为。
例题9】从边长为的正方形铁片的四个角各截去一小块边为的正方形（如右图所示），再将四边向上折起，做成一个无盖的正四棱柱铁盒，要求正四棱柱的高度与底面正方形边长的比值不超过常数。 问：取何值时，容积有最大值．
解析】依题意：
解得。函数的定义域为。
1 若，即，则由，解得．
当时，;当时，.
当时， 容积取得极大值，即为最大值，且。
2 若，即，则有知v在定义域上为单调递增函数。
当时， 答： 若，则当时， 容积有最大值；
若，则当时， 容积有最大值。
例题10】已知函数，其中是自然常数，1）讨论时， 函数的单调性、极值；
2）求证：在（1）的条件下，；
3）是否存在实数，使函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
解析】（1）时，，
当时，;当时，
在区间上是单调递减函数；
在区间上是单调递增函数。
取得极小值为。
2）由(1)得在上的最小值为1，令，当时，，在上单调递增。
在（1）的条件下，
3） 假设存在实数，使函数（）
有最小值3，
1 若，则，在上单调递减，由，得（不合题意，舍去）
若，即，则当时，;
当时，.在上单调递减，在上单调递增。
由，得符合题意。
若，即，则。
在上单调递减，由，得（不合题意，舍去）
综上所述： 存在实数，使得当时有最小值3.
三、【巩固练习】
练习1】在平面直角坐标系中，点在曲线上，且在第二象限内，已知曲线在点处的切线的斜率为，则点的坐标为 ．
答案】解析】设点的横坐标为，由知，又点在第二象限，，所以．
练习2】函数的单调减区间为。
答案】解析】，由得单调减区间为．
练习3】函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点个。
答案】解析】由图可知：函数在开区间内只有1个极小值点。
练习4】 已知函数，当时，有极大值， 则的值分别为 .
答案】解析】当时，即解得。 经验证：即为所求。
练习5】对正整数，设曲线在处的切线与轴。
交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是 .
答案】解析】，曲线在处的切线的斜率为。
切点为，切线方程为。
令得，.数列的前项和为。
练习6】已知，，是否存在实数，使同时满足下列两个条件：（1）在上是减函数，在上是增函数；
2）的最小值是，若存在，求出，若不存在，说明理由。
解析】设。在上是减函数，在上是增函数。
在上是减函数，在上是增函数。
∴ 解得。
经检验，存在时，满足题设的两个条件。
练习7】设函数（），其中．
1）当时，求曲线在点处的切线方程；
2）当时，求函数的极大值和极小值；
解析】（1）当时，，得，且，．
曲线在点处的切线方程是，即．
令，解得或．
由于，以下分两种情况讨论．
若，当变化时，的正负如下表：
因此，函数在处取得极小值，且；
函数在处取得极大值，且．
若，当变化时，的正负如下表：
因此，函数在处取得极小值，且；
函数在处取得极大值，且．
练习8】设其导函数的图象经过点，1）求函数的解析式和极值；
2）对都有恒成立，求实数的取值范围。
解析】（1），且的图像经过点。
是方程的根。
解得。由的图象，可知函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增。
函数有极小值。
函数有极大值。
2）由（1）可知，对都有恒成立，即对，恒成立。
当时，显然成立；
当时，等价于，即
而当，有，当且仅当，即时，上式取等号， 0.
所求实数的取值范围为。
练习9】甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边a处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的b处，乙厂到河岸的垂足d与a相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站c，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站c建在岸边何处才能使水管费用最省？
解析】 根据题意知，只有点c**段ad上。
某一适当位置，才能使总运费最省，设c点距。
d点km,则∵,
又设总的水管费用为元，依题意有：
令，解得。在上，只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在处取得最小值，此时ac=50－x=20(km).
答： 供水站建在a、d之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省。
练习10】设，.
1）令，讨论在上的单调性，并求极值；
2）求证：当时，恒有。
解析】（1）,列表如下：
在内是减函数，在内是增函数，在处取得极小值为．
2）证明：由知，的极小值．
于是由上表知，对一切，恒有．
从而当时，恒有，故在内单调增加．
当时，，即．
当时，恒有．
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